Quadratische Funktion

Worum geht es?

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die einfachste ist die Normalparabel $y = x^2$ mit dem Scheitelpunkt im Ursprung.

In der Scheitelpunktform kann man den Scheitelpunkt $S(d \mid e)$ direkt ablesen:

f(x) = a\,(x - d)^2 + e

$a$ bestimmt Öffnung und Form: Für $a > 0$ ist die Parabel nach oben, für $a < 0$ nach unten geöffnet. Für $|a| > 1$ ist sie gestreckt (schmaler), für $|a| < 1$ gestaucht (breiter).
$d$ verschiebt die Parabel in x-Richtung. Achtung Vorzeichen: $(x - 3)^2$ verschiebt um 3 nach rechts.
$e$ verschiebt die Parabel in y-Richtung.

Multipliziert man die Klammer aus, erhält man die allgemeine Form:

f(x) = a x^2 + b x + c \quad\text{mit}\quad b = -2ad,\;\; c = ad^2 + e

Umgekehrt (quadratische Ergänzung): $d = -\frac{b}{2a}$ und $e = c - \frac{b^2}{4a}$ .

Nullstellen

Ob und wo die Parabel die x-Achse schneidet, verrät die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ :

Diskriminante	Anzahl der Nullstellen
$D > 0$	zwei Nullstellen
$D = 0$	eine (doppelte) Nullstelle – der Scheitel liegt auf der x-Achse
$D < 0$	keine Nullstelle

Die Nullstellen selbst liefert die Lösungsformel:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Ausprobieren

Verändere nur $a$ – auch ins Negative. Vergleiche mit der gestrichelten Normalparabel. a = 2 a = −0,5
Stelle $d = 3$ ein. Warum steht in der Funktionsgleichung dann ein Minus? Beispiel laden
Ziehe den Scheitelpunkt $S$ nach oben und unten. Wann gibt es zwei, eine oder keine Nullstelle?
Schalte das Streckfaktor-Dreieck ein: Vom Scheitel aus geht es 1 nach rechts und $a$ nach oben. Ziehe den hohlen Punkt rechts vom Scheitel nach oben oder unten – so änderst du $a$ . Beispiel laden
Wechsle oben zur allgemeinen Form. Die Parabel bleibt gleich – nur die Darstellung ändert sich.

Aufgaben

Aufgabe 1: Scheitelpunktform ablesen

Aufgabe laden Lies den Scheitelpunkt ab und bestimme $a$ mit dem Streckfaktor-Dreieck. Gib die Funktionsgleichung an und berechne die Nullstellen.

Lösung anzeigen

Scheitelpunkt $S(-2 \mid -4{,}5)$ . Vom Scheitel 1 nach rechts geht es 0,5 nach oben, also $a = 0{,}5$ :

$f(x) = 0{,}5\,(x + 2)^2 - 4{,}5$

Nullstellen: $0{,}5\,(x+2)^2 = 4{,}5 \Rightarrow (x+2)^2 = 9 \Rightarrow x + 2 = \pm 3$ , also $x_1 = -5$ und $x_2 = 1$ .

Aufgabe 2: Umrechnen

Schreibe $f(x) = 2\,(x - 1)^2 - 8$ in der allgemeinen Form und bestimme die Nullstellen. Überprüfe mit der Simulation.

Lösung anzeigen

$2\,(x^2 - 2x + 1) - 8 = 2x^2 - 4x - 6$ . Nullstellen: $x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -1,\; x_2 = 3$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Wie viele Nullstellen?

Entscheide ohne die Nullstellen auszurechnen, wie viele Nullstellen die Funktionen haben:

$f(x) = x^2 + 2x + 3$
$g(x) = -x^2 + 4x - 4$
$h(x) = 0{,}5x^2 - 2$

Lösung anzeigen

$D = 4 - 12 = -8 < 0$ : keine Nullstelle. Zeigen
$D = 16 - 16 = 0$ : eine doppelte Nullstelle bei $x = 2$ . Zeigen
$D = 0 + 4 = 4 > 0$ : zwei Nullstellen ( $x = \pm 2$ ). Zeigen

Aufgabe 4: Ballwurf (Modellieren)

Die Flugbahn eines Balls wird durch $h(x) = -0{,}2\,(x - 5)^2 + 6$ beschrieben ( $x$ : Entfernung in m, $h$ : Höhe in m). Wie hoch fliegt der Ball höchstens, und wie weit fliegt er? Tipp: Zum Überprüfen musst du herauszoomen.

Lösung anzeigen

Der Scheitelpunkt $S(5 \mid 6)$ ist der höchste Punkt: 6 m Höhe nach 5 m. Landung: $0{,}2\,(x-5)^2 = 6 \Rightarrow (x-5)^2 = 30 \Rightarrow x = 5 + \sqrt{30} \approx 10{,}5$ m. In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Einführung der Scheitelpunktform (Klasse 9), Zusammenhang der Darstellungsformen, Vorbereitung der Lösungsformel.
Häufige Stolpersteine:
- Das Vorzeichen von $d$ wird falsch gedeutet: $(x + 2)^2$ verschiebt nach links.
- „Gestreckt“ wird mit „breiter“ verwechselt. Der gestrichelte Vergleich mit der Normalparabel hilft.
- Der Parameter $b$ der allgemeinen Form wird als Verschiebung interpretiert – beim Ziehen am Scheitel sieht man, dass sich $b$ und $c$ gemeinsam ändern.
Regionale Unterschiede: Je nach Bundesland wird mit der $pq$ -Formel (Normalform $x^2 + px + q$ ) oder der $abc$ -Formel gearbeitet. Die Simulation zeigt die Diskriminante $b^2 - 4ac$ ; für $a = 1$ entspricht sie $p^2 - 4q$ .
Gerundete Werte: Sind Nullstellen oder Scheitel nicht exakt mit zwei Nachkommastellen darstellbar, zeigt die Simulation „≈“ statt „=“ (z. B. $x_2 \approx 10{,}48$ beim Ballwurf). Das ist ein guter Anlass, über exakte Werte wie $5 + \sqrt{30}$ zu sprechen.
Aufgabenmodus: Mit Teilen → Ergebnisse verdecken werden Funktionsgleichungen, Scheitelpunkt und Nullstellen verdeckt. So eignet sich jede Einstellung als Ableseaufgabe.
Schreibweise: Manche Lehrpläne und Lehrwerke schreiben den Term als $a \cdot (x + d)^2 + e$ . Unter Anzeige → Schreibweise der Scheitelpunktform lässt sich die Simulation darauf umstellen; ein positives $d$ verschiebt dann nach links.