Galtonbrett – Scitura

Worum geht es?

Auf einem Galtonbrett fallen Kugeln durch $n$ Reihen von Nägeln. An jedem Nagel springt eine Kugel mit der Wahrscheinlichkeit $p$ nach rechts und mit $1 - p$ nach links. Am Ende landet sie in einem der Fächer $0, 1, \ldots, n$ – die Fachnummer $k$ ist genau die Anzahl der Rechts-Sprünge.

Jeder Nagel ist ein Bernoulli-Versuch, der ganze Weg eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ . Die Anzahl $X$ der Rechts-Sprünge ist binomialverteilt:

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}

$\binom{n}{k}$ zählt die Wege zum Fach $k$ . Diese Zahlen bilden das Pascal’sche Dreieck: Die Anzahl der Wege zu einem Nagel ist die Summe der Wege zu den beiden Nägeln darüber.
$p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Weg.

Erwartungswert und Standardabweichung:

\mu = n \cdot p \qquad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}

Bei vielen Reihen nähert sich die Form der Verteilung einer Glockenkurve (Normalverteilung). Als Faustregel gilt die Näherung als gut, wenn $\sigma > 3$ ist (Laplace-Bedingung).

Ausprobieren

Lass einzelne Kugeln fallen und verfolge ihren Weg. Wie hängt das Fach mit der Folge aus L und R zusammen?
Blende das Pascal’sche Dreieck ein. Warum landen in der Mitte mehr Kugeln? Pascal’sches Dreieck
Stelle $p = 0{,}7$ ein. Wohin verschiebt sich die Verteilung? Schief
Wirf mit 16 Reihen 1000 sofort und vergleiche mit der Glockenkurve. Hier ist $\sigma = 2$ , die Laplace-Bedingung ist also nicht erfüllt. Für $p = 0{,}5$ passt die Kurve trotzdem schon gut. 16 Reihen

Aufgaben

Aufgabe 1: Wahrscheinlichkeit für ein Fach

Ein Galtonbrett hat $n = 4$ Reihen, $p = 0{,}5$ . Mit welcher Wahrscheinlichkeit landet eine Kugel in Fach 2?

Lösung anzeigen

$P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5^2 = \frac{6}{16} = 37{,}5\,\%$

Es gibt 6 Wege mit genau zwei Rechts-Sprüngen (z. B. RRLL, RLRL, …). In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Wege zählen

Wie viele Wege führen bei $n = 6$ Reihen in Fach 3? Lies im Pascal’schen Dreieck ab und rechne nach.

Lösung anzeigen

$\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

In der untersten Nagelreihe stehen 1, 5, 10, 10, 5, 1 – Fach 3 wird von den beiden mittleren Nägeln erreicht: $10 + 10 = 20$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Erwartungswert und Streuung

Berechne $\mu$ und $\sigma$ für $n = 10$ und $p = 0{,}7$ . Prüfe mit 1000 Kugeln.

Lösung anzeigen

$\mu = 10 \cdot 0{,}7 = 7$ , $\sigma = \sqrt{10 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3} = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}45$ . Der Mittelwert der 1000 Kugeln liegt meist sehr nahe bei 7. In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Symmetrie

Warum ist die Verteilung für $p = 0{,}5$ symmetrisch, für $p = 0{,}7$ aber nicht? Wie hängen die Verteilungen für $p = 0{,}3$ und $p = 0{,}7$ zusammen?

Lösung anzeigen

Für $p = 0{,}5$ ist jeder Weg gleich wahrscheinlich, und es gibt zu Fach $k$ genauso viele Wege wie zu Fach $n - k$ : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ . Für $p = 0{,}7$ sind Wege mit vielen R wahrscheinlicher. Vertauscht man links und rechts, wird aus $p = 0{,}3$ die Verteilung für $p = 0{,}7$ – sie sind spiegelbildlich: $P_{0{,}3}(X = k) = P_{0{,}7}(X = n - k)$ .

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Oberstufe (Bernoulli-Ketten, Binomialverteilung); qualitativ auch früher bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Die Glockenkurve leitet zur Normalverteilung über.
Darstellung: Solange es passt, werden die Kugeln einzeln gestapelt; bei vielen Kugeln werden die Fächer als Säulen dargestellt. Die waagerechten Striche (in der Legende „B(n; p)“) zeigen die erwartete Anzahl $N \cdot P(X = k)$ bei $N$ Kugeln.
Gruppen vergleichen: Lassen Sie mehrere Gruppen je 100 Kugeln werfen. Jede Gruppe erhält eine etwas andere Verteilung – zusammengelegt kommen die Häufigkeiten der Binomialverteilung immer näher.
Bilder: Holzbrett und Kugeln werden gezeichnet; optional können Fotos ergänzt werden (siehe docs/BILDER.md).
Häufige Stolpersteine:
- „Die Kugel wird zur Mitte gelenkt.“ – Es gibt nur mehr Wege dorthin.
- Fachnummer und Weg werden verwechselt: Viele verschiedene Wege führen ins gleiche Fach.
- Die Glockenkurve ist eine Näherung für große $n$ – für kleine $n$ oder $p$ nahe 0 oder 1 passt sie schlecht.