Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln

Worum geht es?

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment wird ein einfaches Experiment mehrmals hintereinander ausgeführt – hier: Aus einer Urne mit $3$ roten und $2$ blauen Kugeln wird zweimal gezogen. Ein Baumdiagramm zeigt alle möglichen Abläufe: Jede Stufe ist ein Zug, jeder Ast ein mögliches Ergebnis dieses Zuges, jeder Pfad von links nach rechts ein Ergebnis des ganzen Experiments.

An die Äste schreibt man die Wahrscheinlichkeiten. Beim ersten Zug sind das $\frac35$ (rot) und $\frac25$ (blau). Beim zweiten Zug kommt es darauf an:

• Mit Zurücklegen: Die Urne ist wieder wie vorher, die Äste tragen wieder $\frac35$ und $\frac25$.
• Ohne Zurücklegen: Es sind nur noch $4$ Kugeln da. Wurde zuerst Rot gezogen, ist Rot jetzt $\frac24$, Blau $\frac24$.

1. Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades:

2. Pfadregel (Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu ihm gehören:

An jeder Verzweigung ergeben die Äste zusammen $1$, und alle Pfade zusammen ebenfalls $1$. Daraus folgt der Weg über das Gegenereignis: Hat das Gegenereignis weniger Pfade, rechnet man $P(E) = 1 - P(\overline{E})$, z. B. $P(\text{mindestens eine rote}) = 1 - P(bb) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.

Sonderfälle ohne Zurücklegen:

• Ist eine Farbe aufgebraucht, hat ihr Ast die Wahrscheinlichkeit $0$ – im Baum als gestrichelter Stummel „0/…“ gezeichnet.
• Nach so vielen Zügen, wie Kugeln in der Urne sind, ist sie leer; mehr Züge sind nicht möglich.

Simulation: Wird das Experiment oft wiederholt, liegen die relativen Häufigkeiten meist nahe bei den Wahrscheinlichkeiten (empirisches Gesetz der großen Zahlen). Der helle Trichter zeigt, in welchem Bereich die relative Häufigkeit nach $N$ Durchgängen in etwa $95\,\%$ der Fälle liegt.

Ausprobieren

1. Ziehe einmal: Die Kugeln fliegen aus der Urne, der Pfad leuchtet im Baum auf. Was ändert sich in der Urne beim zweiten Zug? Ziehen
2. Vergleiche beide Bäume nebeneinander. Welche Brüche sind gleich, welche nicht? Mit und ohne Zurücklegen
3. Lass die Rechnung für „beide gleichfarbig“ ablaufen: Erst entstehen die Produkte, dann die Summe. Pfadregeln
4. Bei „mindestens eine rote“ hat das Gegenereignis nur einen Pfad – sieh dir an, wie die Rechnung dann aussieht. Gegenereignis
5. Starte 1000-mal ziehen und beobachte, wie sich die Kurve in den Trichter legt. Simulation
6. Wähle selbst antippen und tippe Pfade an. So kannst du beliebige Ereignisse zusammenstellen. Selbst wählen
7. Stelle eine kleine Urne mit $2$ roten Kugeln und einer blauen Kugel ein und ziehe dreimal. Wo endet ein Ast mit $0$? Kleine Urne

Aufgaben

Aufgabe 1: Pfadwahrscheinlichkeiten

In der Urne liegen $3$ rote und $2$ blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten aller vier Pfade und prüfe, ob sie zusammen $1$ ergeben. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Mit und ohne Zurücklegen

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen – mit und ohne Zurücklegen? Erkläre den Unterschied. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Mindestens eine rote

Es wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Berechne $P(\text{mindestens eine rote Kugel})$ geschickt. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Sicher mindestens eine rote?

Jetzt dreimal ohne Zurücklegen. Begründe, warum $P(\text{mindestens eine rote}) = 1$ ist. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Drei Farben

Die Urne enthält $2$ rote, $3$ blaue und $1$ grüne Kugel. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die beiden Kugeln verschiedene Farben? Aufgabe laden

Aufgabe 6: Eine kleine Urne

In einer Urne liegen $2$ rote und $1$ blaue Kugel. Es werden alle drei nacheinander gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt die blaue Kugel zuletzt? Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Mittelstufe: Laplace-Experimente und Baumdiagramme, später zusammengesetzte Zufallsexperimente und stochastische Simulationen.
• Echte Urne daneben: Zuerst einige Male mit einer echten Urne ziehen, dann mit der Ansicht „Simulation“ vergleichen – sie ersetzt die vielen Wiederholungen.
• Bruchdarstellung: Die Äste zeigen bewusst ungekürzte Brüche (z. B. $\frac24$), damit der Inhalt der Urne erkennbar bleibt; erst die Produkte werden gekürzt.
• Häufige Stolpersteine:
  • Ohne Zurücklegen werden im zweiten Zug dieselben Wahrscheinlichkeiten wie im ersten verwendet.
  • Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden addiert statt multipliziert.
  • Pfade wie $rb$ und $br$ werden als dasselbe Ergebnis gezählt und nur einmal addiert.
  • Bei „mindestens einmal“ werden nicht alle passenden Pfade erfasst; das Gegenereignis ist oft einfacher.