Geraden und Ebenen im Raum

Worum geht es?

Eine Gerade im Raum ist durch einen Punkt $A$ und eine Richtung festgelegt. In Parameterform:

Dabei ist $\vec a$ der Stützvektor (Ortsvektor von $A$) und $\vec u \ne \vec o$ der Richtungsvektor. Jeder Wert von $t$ liefert genau einen Punkt $X$ der Geraden: Man geht vom Ursprung zu $A$ und dann $t$-mal den Pfeil $\vec u$ weiter. Für $g\colon \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $t = 2$ erhält man $X(5 \mid 0 \mid 5)$.

Spurpunkte sind die Punkte, in denen die Gerade eine Koordinatenebene durchstößt. Für die $x_1x_2$-Ebene setzt man $x_3 = 0$: $3 + t = 0$, also $t = -3$ und $S_{12}(-5 \mid 5 \mid 0)$. Ebenso $S_{23}(0 \mid 2{,}5 \mid 2{,}5)$ ($t = -0{,}5$) und $S_{13}(5 \mid 0 \mid 5)$ ($t = 2$). Ist z. B. $u_3 = 0$, verläuft $g$ parallel zur $x_1x_2$-Ebene oder liegt in ihr. Dann gibt es mit dieser Ebene keinen Spurpunkt (oder $g$ liegt ganz in ihr).

Punktprobe: $P$ liegt auf $g$, wenn die Gleichung $\vec p = \vec a + t \cdot \vec u$ eine Lösung hat – also alle drei Zeilen dasselbe $t$ ergeben. Für $P(5 \mid 0 \mid 5)$: $t = 2$, $t = 2$, $t = 2$ ✓. Für $Q(3 \mid 1 \mid 5)$: $t = 1$, $t = 1$, $t = 2$ – also $Q \notin g$.

Eine Ebene braucht zwei Richtungen, die Spannvektoren $\vec u$ und $\vec v$ (nicht parallel):

Der Normalenvektor $\vec n = \vec u \times \vec v$ steht senkrecht auf beiden Spannvektoren und damit auf der Ebene. Daraus entstehen die Normalenform $\vec n \cdot (\vec x - \vec a) = 0$ und durch Ausmultiplizieren die Koordinatenform

Beispiel: $A(6 \mid 0 \mid 0)$, $\vec u = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec v = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ ergibt $\vec n = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$, $d = 12$ und $E\colon 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 12$. Die Spurpunkte (Achsenabschnitte) liest man ab, indem man zwei Koordinaten null setzt: $S_1(6 \mid 0 \mid 0)$, $S_2(0 \mid 4 \mid 0)$, $S_3(0 \mid 0 \mid 2)$. Sie bilden das Spurdreieck, seine Seiten liegen auf den Spurgeraden.

Ausprobieren

1. Ziehe den Punkt $X$ entlang der Geraden oder bewege den Regler $t$. Beobachte die Pfeilkette $\vec a + t \cdot \vec u$. Was passiert bei negativem $t$? Beispiel laden
2. Stelle $t = -3$ ein. Welcher besondere Punkt ist $X$ jetzt? t = −3
3. Mache $\vec u$ parallel zur $x_3$-Achse. Wie viele Spurpunkte bleiben? Drehe die Ansicht. Gerade parallel zur x₃-Achse
4. Schalte die Punktprobe ein und ziehe $P$ auf die Gerade. Wann stimmen die drei $t$-Werte überein? Punktprobe
5. Ebene in Parameterform: Ziehe $X$ in der Ebene. Für welche $r$ und $s$ landet $X$ auf der $x_2$-Achse? Ebene laden
6. Mache $\vec v$ zu einem Vielfachen von $\vec u$. Was passiert? u und v parallel
7. Starte „Umrechnen“ und verfolge die vier Schritte bis zum Spurdreieck. Drehe die Ansicht so, dass du auf die Kante der Ebene schaust: Der Normalenvektor steht senkrecht. Umrechnen
8. Hier ergibt $\vec u \times \vec v$ einen „großen“ Normalenvektor. Er darf gekürzt werden – warum? Normalenvektor kürzen
9. Eine Ebene mit nur einem Spurpunkt: Ebene parallel zur x₁x₂-Ebene

Aufgaben

Aufgabe 1: Punkte auf der Geraden

Gegeben ist $g\colon \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Berechne den Punkt für $t = -1$ und prüfe, ob $R(7 \mid -1 \mid 6)$ auf $g$ liegt. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Spurpunkte einer Geraden

Berechne alle Spurpunkte von $h\colon \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Von der Parameterform zur Koordinatenform

Bestimme eine Koordinatenform von $E\colon \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ und ihre Spurpunkte. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Spurdreieck

Die Ebene $E\colon 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 12$ schneidet die Achsen in $S_1$, $S_2$, $S_3$. Berechne die Spurpunkte und den Flächeninhalt des Spurdreiecks. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Punktprobe in der Ebene

Liegen $P(3 \mid 0 \mid 1)$ und $Q(5 \mid 0 \mid 5)$ in $E\colon 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 12$? Aufgabe laden

Aufgabe 6: Besondere Lage

Welche Spurpunkte hat die Ebene $E\colon x_3 = 3$? Gib eine Parameterform an und begründe, warum es kein Spurdreieck gibt.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Oberstufe, analytische Geometrie: Geraden und Ebenen im Raum. Als Einstieg in die Parameterform, zum Üben von Spurpunkten oder zur Vorbereitung auf Lagebeziehungen.
• Parameter als „Fahrplan“: Der Regler $t$ kann als Zeit gedeutet werden – $X$ fährt mit konstanter Geschwindigkeit $\vec u$ durch den Raum. Das hilft beim Verständnis, warum $t$ negativ sein darf.
• Gleiche Ebene, andere Gleichung: Zwei verschiedene Parameterformen derselben Ebene führen zur gleichen Koordinatenform (bis auf einen Faktor). Das lässt sich mit den Spannvektoren direkt ausprobieren.
• Spurdreieck zeichnen: Mit den drei Spurpunkten lässt sich eine Ebene schnell in ein Schrägbild einzeichnen – die Simulation kann zur Kontrolle dienen.
• Häufige Stolpersteine:
  • Bei der Punktprobe werden nur zwei Zeilen geprüft – entscheidend ist, dass alle drei dasselbe $t$ liefern.
  • Stützpunkt und Richtungsvektor werden vertauscht: $\vec u$ ist kein Punkt der Geraden, sondern eine Verschiebung.
  • Beim Vektorprodukt geht ein Vorzeichen verloren (mittlere Komponente!). Die Probe $\vec n \cdot \vec u = 0$ und $\vec n \cdot \vec v = 0$ deckt das auf.
  • Die Spurpunkte einer Geraden (mit den Koordinatenebenen) werden mit den Spurpunkten einer Ebene (mit den Koordinatenachsen) verwechselt.