Matrizen als lineare Abbildungen

Worum geht es?

Eine $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ beschreibt eine lineare Abbildung der Ebene: Jeder Vektor $\vec{x}$ wird auf $A \cdot \vec{x}$ abgebildet. Der Ursprung bleibt fest, Geraden bleiben Geraden, parallele Geraden bleiben parallel – das Koordinatengitter wird zu einem Gitter aus Parallelogrammen.

Die Spalten sind die Bilder der Einheitsvektoren: $A \cdot \vec{e}_1 = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$, $A \cdot \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ und wegen der Linearität $A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \cdot \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$.

Bekannte Abbildungen haben feste Baupläne: Drehung um $\varphi$: $\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}$, Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Winkel $\alpha$: $\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}$, Scherung $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, Streckung $\begin{pmatrix} k_x & 0 \\ 0 & k_y \end{pmatrix}$, senkrechte Projektion auf die Gerade mit Winkel $\alpha$: $\begin{pmatrix} \cos^2\alpha & \sin\alpha\cos\alpha \\ \sin\alpha\cos\alpha & \sin^2\alpha \end{pmatrix}$.

Verkettung: Erst $B$, dann $A$ anwenden ergibt $A \cdot B$ (die zuerst angewendete Matrix steht rechts). Eintrag $p_{ij}$ = Zeile $i$ von $A$ mal Spalte $j$ von $B$. Im Allgemeinen ist $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Determinante: $\det A = ad - bc$ ist der orientierte Flächeninhalt des Bildes des Einheitsquadrats. Alle Flächen werden mit $|\det A|$ multipliziert, und $\det(A \cdot B) = \det A \cdot \det B$. Bei $\det A < 0$ kehrt sich der Umlaufsinn um, bei $\det A = 0$ fällt die Ebene auf eine Gerade (oder einen Punkt): Die Abbildung ist nicht umkehrbar.

Inverse: Für $\det A \neq 0$ gilt

Eigenvektoren: Ein Vektor $\vec{v} \neq \vec{0}$ mit $A \cdot \vec{v} = \lambda \vec{v}$ wird nur gestreckt, seine Richtung bleibt erhalten. Die Eigenwerte sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms

Ist die Diskriminante negativ (z. B. bei Drehungen um $\varphi \neq 0°, 180°$), sind die Eigenwerte komplex und keine Richtung bleibt erhalten.

Iteration: $\vec{x}_{n+1} = A \cdot \vec{x}_n$ beschreibt Prozesse in Schritten (Populationen, Kundenwanderung). Langfristig bestimmt der betragsgrößte Eigenwert das Verhalten; ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$ ist ein Fixvektor ($A\vec{v} = \vec{v}$). Bei einer Übergangsmatrix (Einträge $\geq 0$, Spaltensummen $1$) heißt der Fixvektor mit Summe $1$ stationäre Verteilung.

Ausprobieren

1. Allgemein: Ziehe die Spitzen von $A \cdot \vec{e}_1$ und $A \cdot \vec{e}_2$. Drücke „Abbildung abspielen“ oder verschiebe den Regler $t$: Die Einheitsmatrix verformt sich stetig zu $A$.
2. Drehung um 90°, Spiegelung an y = x, Scherung, Kreis → Ellipse: Welche Geraden bleiben fest?
3. AB ≠ BA: Drücke „Nacheinander abspielen“ und dann „Reihenfolge tauschen“. Die rot gepunktete Figur zeigt die andere Reihenfolge.
4. Negative Determinante: Woran erkennst du im Bild, dass $\det A < 0$ ist? Vergleiche mit Grundseite · Höhe des Parallelogramms. Projektion: Was ist der Kern?
5. Symmetrische Matrix: Drücke „v einmal herumdrehen“. Wann liegen $\vec{v}$ und $A\vec{v}$ auf einer Geraden? Das Diagramm $\sin\angle(\vec{v}, A\vec{v})$ hat dort Nullstellen. Vergleiche mit der Drehung um 60° und der Scherung.
6. Inverse: „Hin mit A, zurück mit A⁻¹“. Was passiert bei der singulären Matrix?
7. Alltag: Raumschiff drehen, schräge Schrift, Schatten, Spiegelbild im See, Kaleidoskop, Karten-App, Breitbild.
8. Iteration: Population stabil, Population wachsend, Kundenwanderung. Ziehe den Startpunkt: Ändert sich das Ziel?

Aufgaben

Aufgabe 1: Matrix aus Bildern

Die Abbildung bildet $\vec{e}_1$ auf $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{e}_2$ auf $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ ab. Gib die Matrix an und berechne den Flächenfaktor. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Eigenwerte

Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Welche Abbildung?

Welche Abbildung beschreibt $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$? Begründe mit den Bildern der Einheitsvektoren und zeige, dass es keine reellen Eigenwerte gibt.

Aufgabe 4: Reihenfolge

Berechne für $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ die Produkte $A \cdot B$ und $B \cdot A$. Was bewirkt $B$ jeweils? Aufgabe laden

Aufgabe 5: Rückweg

Berechne die Inverse von $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ und prüfe sie am Punkt $P(1 \mid 1)$. Aufgabe laden

Aufgabe 6: Kundenwanderung

Von Anbieter P bleiben jedes Jahr 90 % der Kunden, 10 % wechseln zu Q; von Q wechseln 20 % zu P. Anfangs sind alle Kunden bei P. Berechne die Anteile nach einem und nach zwei Jahren und die stationäre Verteilung. Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Lineare Algebra im ersten Studienjahr; in der Oberstufe als Vertiefung im Anschluss an Vektoren, etwa in einem Seminar, im Profilfach oder in der Begabtenförderung. Übergangsmatrizen und Populationsmodelle kommen nur in manchen Lehrplänen direkt vor.
• Vermutungen sammeln: Erst Abbildungen durch Ziehen „bauen“ (Drehung, Spiegelung, Scherung), dann die Matrizen notieren und mit den Bauplänen vergleichen.
• Rechnen und Sehen verbinden: Mit „Werte zeigen“ aus rechnen die Lernenden zuerst (Determinante, Produkt, Inverse, Eigenwerte) und prüfen dann im Bild.
• Häufige Stolpersteine:
  • Zeilen und Spalten werden vertauscht – die Bilder der Einheitsvektoren stehen in den Spalten.
  • Bei $A \cdot B$ wird $A$ zuerst angewendet gedacht; tatsächlich wirkt $B$ zuerst.
  • Die Determinante wird als Flächeninhalt ohne Vorzeichen verstanden.
  • Eigenvektoren werden für „die Vektoren, die sich nicht ändern“ gehalten – sie dürfen gestreckt oder umgedreht werden ($\lambda < 0$).