Skalarprodukt und Vektorprodukt

Worum geht es?

Skalarprodukt: Komponentenweise multiplizieren und addieren – das Ergebnis ist eine Zahl: $\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$. Geometrisch gilt $\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\varphi$ mit dem Winkel $0° \le \varphi \le 180°$, also

• $\vec a \cdot \vec b > 0$: spitzer Winkel, $< 0$: stumpfer Winkel, $= 0$: senkrecht (orthogonal).
• $\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|}$ ist die (vorzeichenbehaftete) Länge der Projektion von $\vec b$ auf die Richtung von $\vec a$.
• Sonderfälle: Bei einem Nullvektor gibt es keinen Winkel. Bei parallelen Vektoren ist $\vec a \cdot \vec b = \pm|\vec a| \cdot |\vec b|$.

Vektorprodukt (Kreuzprodukt): Das Ergebnis ist ein Vektor. Man schreibt $\vec a$ und $\vec b$ nebeneinander, wiederholt die ersten beiden Zeilen darunter und rechnet „über Kreuz“, beginnend in Zeile 2:

$\vec a \times \vec b$ steht senkrecht auf $\vec a$ und $\vec b$ (Rechte-Hand-Regel), und seine Länge ist die Fläche des Parallelogramms: $|\vec a \times \vec b| = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin\varphi$, hier $\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7{,}35$. Das Dreieck hat die halbe Fläche. Es gilt $\vec b \times \vec a = -(\vec a \times \vec b)$; bei parallelen Vektoren ist $\vec a \times \vec b = \vec o$.

Spatprodukt: $|(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c|$ ist das Volumen des Spats: Grundfläche $G = |\vec a \times \vec b|$ mal Höhe $h$ (Projektion von $\vec c$ auf $\vec a \times \vec b$). Schert man den Spat gerade, bleiben $G$ und $h$ gleich – und damit das Volumen (Prinzip von Cavalieri). Die dreiseitige Pyramide mit den Kanten $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ hat $\frac16$ davon. Ist das Spatprodukt negativ, bilden $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ ein Linkssystem; ist es $0$, liegen sie in einer Ebene.

Ausprobieren

1. Ziehe die Spitze von $\vec b$, bis der Winkel $90°$ ist. Was zeigen Skalarprodukt und Balken? Senkrecht
2. In Winkel drehen läuft $\vec b$ auf einem Halbkreis. Starte „φ von 0° bis 180° drehen“ und beobachte beide Kurven. Winkel drehen
3. Lass im Vektorprodukt die Rechnung Schritt für Schritt ablaufen und tippe auf eine Zeile des Schemas. Über Kreuz
4. Mach $\vec b$ parallel zu $\vec a$. Was passiert mit Fläche und Normalenvektor? Parallel
5. Schalte im Spatprodukt „Spat gerade scheren“ ein. Was bleibt gleich? Cavalieri
6. Unter Entdecken suchst du drei Lösungen – danach zeigt sich, wo alle Lösungen liegen. Entdecken

Aufgaben

Aufgabe 1: Winkel berechnen

Berechne den Winkel zwischen $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec b = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Gleich groß

Für welche Winkel $\varphi$ sind $|\vec a \cdot \vec b|$ und $|\vec a \times \vec b|$ gleich groß? Aufgabe laden

Aufgabe 3: Normalenvektor und Fläche

Berechne $\vec a \times \vec b$ für $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec b = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$, mache die Probe und gib die Fläche des Parallelogramms an. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Volumen und Orientierung

Berechne das Spatprodukt für $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec c = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$. Wie groß sind die Volumina von Spat und Pyramide? Aufgabe laden

Aufgabe 5: Alle Lösungen

Gesucht sind alle $\vec c$, für die der Spat aus $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec b = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec c$ das Volumen $12$ hat. Finde zuerst drei in der Simulation und beschreibe dann alle. Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Oberstufe, Grundlagen der Koordinatengeometrie im Raum.
• Entdecken statt Vorgeben: Zuerst unter „Entdecken“ senkrechte Vektoren suchen lassen – die Ebene der Lösungen führt direkt zur Normalenform.
• cos und sin zusammen: „Winkel drehen“ zeigt Skalarprodukt (Projektion) und Fläche (Höhe) im selben Bild.
• Häufige Stolpersteine:
  • Das Skalarprodukt wird als Vektor notiert – es ist eine Zahl.
  • Vorzeichen oder Indizes der mittleren Komponente werden vertauscht; die Probe $(\vec a \times \vec b) \cdot \vec a = 0$ hilft.
  • Das Vorzeichen von $\cos\varphi$ wird ignoriert; der Winkel liegt immer zwischen $0°$ und $180°$.
  • Dreiecksfläche ohne $\frac12$, Pyramidenvolumen ohne $\frac16$.