Prozentstreifen

Worum geht es?

Prozent heißt Hundertstel: $1\,\% = \frac{1}{100}$, also $25\,\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25$. In jeder Prozentaufgabe kommen drei Größen vor:

• der Grundwert $G$ – das Ganze, er entspricht $100\,\%$ (im Bild violett),
• der Prozentsatz $p\,\%$ – der Anteil in Prozent (orange),
• der Prozentwert $W$ – der Anteil als Größe, z. B. in Euro (blau).

Am Prozentstreifen stehen oben die Prozente und unten die passenden Werte. Der ganze Streifen bis $100\,\%$ ist der Grundwert, der gefärbte Teil der Prozentwert.

Dreisatz am Streifen (Beispiel: $25\,\%$ von $80\,€$): Man teilt den Streifen in $100$ gleiche Teile. Ein Teil ist $1\,\%$.

Ist der Grundwert gesucht, rechnet man rückwärts: vom Prozentwert auf $1\,\%$ und dann auf $100\,\%$. Ist der Prozentsatz gesucht, fragt man: Wie oft passt der Wert von $1\,\%$ in den Prozentwert?

Mit der Formel:

Vermehrter und verminderter Grundwert: Bei $20\,\%$ Rabatt zahlt man noch $80\,\%$ des alten Preises, also $G \cdot 0{,}8$. Nach einer Preiserhöhung um $20\,\%$ kostet es $120\,\%$, also $G \cdot 1{,}2$ – der Streifen wird länger als $100\,\%$. Auf den Nettopreis kommen in Deutschland meist $19\,\%$ Mehrwertsteuer (ermäßigt $7\,\%$): Der Bruttopreis ist $119\,\%$ des Nettopreises. Zinsen für ein Jahr sind $p\,\%$ des Kapitals.

Stolperstein beim Zurückrechnen: Kostet ein Fahrrad nach $+20\,\%$ nun $84\,€$, dann sind $84\,€ \;\hat{=}\; 120\,\%$ – nicht $100\,\%$. Also $84\,€ : 1{,}2 = 70\,€$. Wer $20\,\%$ von $84\,€$ abzieht, erhält $67{,}20\,€$ und rechnet mit dem falschen Grundwert.

Ausprobieren

1. Start: Drücke „Dreisatz am Streifen“. Der Streifen zerfällt in $100$ Teile, dann werden $25$ Teile gezählt. Beobachte dabei das Hunderterfeld.
2. Ziehe den orangen Griff, tippe auf den Streifen oder auf Kästchen im Hunderterfeld: Stelle $10\,\%$, $25\,\%$, $50\,\%$ und $75\,\%$ ein. Welche Brüche gehören dazu? Drei Viertel im Kreis
3. 1 % von 250: Warum ist $1\,\%$ von $250$ gleich $2{,}5$? Was sind dann $10\,\%$?
4. Grundwert gesucht: Starte die Animation – jetzt wird rückwärts gezählt, von $15\,\%$ über $1\,\%$ bis $100\,\%$.
5. Über 100 %: Der Prozentwert ist größer als der Grundwert. Wo liegt dann der Griff?
6. Alltag: Rabatt, Preiserhöhung, Kassenbon, Sparbuch, Umfrage. Welcher Teil des Streifens ist jeweils der neue Preis?
7. Stolperstein: Vergleiche die beiden Streifen. Warum endet der rote Streifen vor der violetten Linie?

Aufgaben

Aufgabe 1: Prozentwert

Wie viel sind $25\,\%$ von $80\,€$? Aufgabe laden

Aufgabe 2: Im Schlussverkauf

Ein Pullover kostet $60\,€$. Es gibt $20\,\%$ Rabatt. Wie viel kostet er jetzt? Aufgabe laden

Aufgabe 3: Der Kassenbon

a) Kopfhörer kosten netto $50\,€$. Was kosten sie mit $19\,\%$ Mehrwertsteuer? Aufgabe laden

b) Auf einem Kassenbon stehen $119\,€$ einschließlich $19\,\%$ Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Nettopreis? Aufgabe laden

Aufgabe 4: Das Sparbuch

Auf einem Sparbuch liegen $1200\,€$, der Zinssatz beträgt $2{,}5\,\%$ im Jahr. Wie viele Zinsen gibt es nach einem Jahr, und wie hoch ist dann der Kontostand? Aufgabe laden

Aufgabe 5: Der Stolperstein

a) Nach einer Preiserhöhung um $20\,\%$ kostet ein Fahrrad $84\,€$. Wie teuer war es vorher? Aufgabe laden

b) Ein Preis wird erst um $20\,\%$ erhöht und danach um $20\,\%$ gesenkt. Ist er dann wieder so hoch wie am Anfang?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 6 (Prozent als Bruchteil, einfache Prozentaufgaben wie Rabatt und Zins) und Klasse 7 (Vertiefung der Prozentrechnung, vermehrter und verminderter Grundwert).
• Schätzen vor dem Rechnen: Mit „Lösung zeigen“ aus (show=0) erscheint die gesuchte Größe als „?“. Die Lernenden schätzen am Streifen, rechnen und prüfen mit der Animation. „Neue Aufgabe“ liefert dazu glatte Zahlen – vielleicht für eine Übungsphase in Partnerarbeit.
• Drei Darstellungen verbinden: Streifen, Hunderterfeld und Kreis zeigen denselben Anteil – eine Brücke vom Bruch ($\frac34$) über die Dezimalzahl ($0{,}75$) zum Prozent ($75\,\%$).
• Modell: Geldbeträge werden auf Cent gerundet, nicht exakte Werte erscheinen mit „≈“. Zinsen nur für ein Jahr, ohne Zinseszins.
• Häufige Stolpersteine:
  • Grundwert und Prozentwert werden vertauscht („Wovon sind es Prozent?“).
  • Bei Rabatt und Mehrwertsteuer wird der Betrag der Änderung mit dem neuen Preis verwechselt.
  • Beim Zurückrechnen wird der Prozentsatz vom neuen Wert abgezogen ($84\,€ - 20\,\% \ne 70\,€$).
  • $+20\,\%$ und $-20\,\%$ heben sich scheinbar auf.
  • Prozentsätze über $100\,\%$ werden für unmöglich gehalten.
  • Bei Personen ergeben sich Prozentwerte wie $9{,}24$ Kinder – ein guter Anlass, über sinnvolle Ergebnisse zu sprechen.