Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Worum geht es?

Die Mittelsenkrechte $m$ einer Strecke $[AB]$ ist die Gerade, die durch den Mittelpunkt $M$ von $[AB]$ geht und senkrecht auf $[AB]$ steht. Sie hat eine besondere Eigenschaft:

Jeder Punkt $P$ auf $m$ ist von $A$ und $B$ gleich weit entfernt: $\overline{PA} = \overline{PB}$. Umgekehrt liegt jeder Punkt mit $\overline{PA} = \overline{PB}$ auf $m$.

(In der Simulation steht für die Länge $\overline{PA}$ kurz $|PA|$.) Eine Linie, auf der genau die Punkte mit einer bestimmten Eigenschaft liegen, heißt Ortslinie. Die Mittelsenkrechte teilt die Ebene in zwei Hälften: Auf der einen Seite liegen alle Punkte, die näher an $A$ sind, auf der anderen alle, die näher an $B$ sind. Begründung: Spiegelt man an $m$, wird $A$ auf $B$ abgebildet, und jeder Punkt von $m$ bleibt, wo er ist – also sind die Strecken $[PA]$ und $[PB]$ gleich lang.

Die Winkelhalbierende $w$ eines Winkels $\alpha$ mit Scheitel $S$ teilt ihn in zwei gleich große Winkel $\frac{\alpha}{2}$. Auch sie ist eine Ortslinie:

Jeder Punkt auf $w$ ist von beiden Schenkeln gleich weit entfernt – und im Inneren des Winkels nur diese Punkte.

Den Abstand eines Punktes von einem Schenkel misst man senkrecht, also mit dem Lot. (Läge der Lotfußpunkt hinter dem Scheitel, ist der nächste Punkt des Schenkels der Scheitel $S$ selbst.)

Konstruktion mit Zirkel und Lineal:

• Mittelsenkrechte: Zirkel weiter als $\frac{1}{2}\,\overline{AB}$ öffnen, Kreisbögen um $A$ und um $B$ mit demselben Radius zeichnen. Die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ sind von $A$ und $B$ gleich weit entfernt, liegen also auf $m$. Die Gerade $S_1S_2$ ist die Mittelsenkrechte. ($AS_1BS_2$ ist sogar eine Raute.)
• Winkelhalbierende: Bogen um $S$ schneidet die Schenkel in $P_1$ und $P_2$. Bögen mit gleichem Radius um $P_1$ und $P_2$ schneiden sich in $W$. Die Halbgerade $[SW$ ist die Winkelhalbierende, denn $SP_1WP_2$ ist ein Drachenviereck mit der Symmetrieachse $SW$.

Ausblick: Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks $ABC$ schneiden sich in einem Punkt $U$. Er ist von allen Ecken gleich weit entfernt und ist der Mittelpunkt des Umkreises: $\overline{UA} = \overline{UB} = \overline{UC} = r$.

Ausprobieren

1. Ortslinie entdecken: Ziehe $P$ auf Stellen, an denen $|PA| = |PB|$ ist. Jeder Fund hinterlässt einen grünen Punkt. Was fällt dir auf, wenn du fünf solche Punkte gefunden hast? Schalte danach „Ortslinie zeigen“ und die Färbung ein.
2. Ziehe $A$ und $B$. Wo liegt $m$ immer? Achte auf den rechten Winkel und die Striche an $[AM]$ und $[MB]$.
3. Winkelhalbierende: Ziehe $P$ so, dass beide Lote gleich lang sind. Teste auch einen stumpfen Winkel und einen gestreckten Winkel. Was ist die Winkelhalbierende beim gestreckten Winkel?
4. Mittelsenkrechte konstruieren: Gehe mit „Nächster Schritt“ durch die Konstruktion und beschreibe jeden Schritt mit eigenen Worten. Warum muss der Radius größer sein als die halbe Strecke?
5. Winkelhalbierende konstruieren: Welches Viereck entsteht am Ende aus $S$, $P_1$, $W$ und $P_2$?
6. Spielplatz an der Straße: Schiebe $P$ entlang der Straße, bis beide Wege gleich lang sind. Schalte danach die Ortslinie ein.
7. Umkreis: Ziehe $C$, bis das Dreieck rechtwinklig oder stumpfwinklig ist. Wo liegt dann $U$?

Aufgaben

Aufgabe 1: Gleich weit entfernt?

Gegeben sind $A(4|5)$ und $B(12|9)$ (in Kästchen, ein Kästchen ist $0{,}5\,\text{cm}$ breit). Liegen $P(7|9)$ und $Q(9|6)$ auf der Mittelsenkrechten von $[AB]$? Zähle Kästchen oder miss. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Zu kleiner Zirkel

Tim will die Mittelsenkrechte einer $6\,\text{cm}$ langen Strecke konstruieren und stellt den Zirkel auf $2{,}5\,\text{cm}$ ein. Was passiert? Welche Radien sind geeignet?

Aufgabe 3: Begründen

Begründe mit einer Achsenspiegelung, dass jeder Punkt $P$ der Mittelsenkrechten $m$ von $A$ und $B$ gleich weit entfernt ist.

Aufgabe 4: Der Spielplatz

Die Häuser stehen bei $A(4|9)$ und $B(15|12)$, die Straße verläuft durch $G(0|3)$ und $H(20|5)$. Wo muss der Spielplatz an der Straße liegen, damit er von beiden Häusern gleich weit entfernt ist? Beschreibe die Konstruktion. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Kein Treffpunkt?

Kann es passieren, dass kein Ort an der Straße von $A$ und $B$ gleich weit entfernt ist? Kann es sein, dass jeder Ort an der Straße passt?

Aufgabe 6: Ein Funkmast für drei Dörfer

Die Dörfer liegen bei $A(3|2)$, $B(15|4)$ und $C(8|12)$. Ein Funkmast soll von allen drei Dörfern gleich weit entfernt sein. Wo muss er stehen? Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 7, achsen- und punktsymmetrische Figuren: Grundkonstruktionen Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende, Begründung über Symmetrie, Ortslinien. Geeignet zur Erarbeitung (Ortslinie entdecken), zum Vorführen der Konstruktionen am Beamer und für Übungsphasen. Der Umkreis ist hier als Ausblick gedacht und wird bei der Behandlung von Dreiecken vertieft.
• Bedienung: $P$, die Punkte $A$, $B$, $C$, der Scheitel $S$, die Schenkel sowie $G$ und $H$ lassen sich ziehen. Mit „Ortslinie zeigen“ aus können die Lernenden die Gerade erst selbst entdecken; „Spur löschen“ startet neu. Die Konstruktion lässt sich schrittweise oder ganz abspielen.
• Modell: Karopapier mit $0{,}5\,\text{cm}$ pro Kästchen. Bei der Mittelsenkrechten springt $P$ auf Gitterpunkte und rastet in der Nähe von $m$ auf $m$ ein; bei der Winkelhalbierenden bewegt sich $P$ frei im Winkelfeld und rastet auf $w$ ein. Gerundete Längen werden mit „≈“ angezeigt. Der Winkel $\alpha$ lässt sich zwischen $20°$ und $180°$ einstellen. Stellen Sie $A$ und $B$ mit den Reglern auf denselben Punkt, rückt der zuletzt bewegte Punkt ein Kästchen weiter, denn ohne Strecke gibt es keine Mittelsenkrechte.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Jede Senkrechte zu $[AB]$ ist eine Mittelsenkrechte.“ – Sie muss durch den Mittelpunkt gehen.
  • Der Zirkel wird zwischen den beiden Bögen verstellt oder kleiner als die halbe Strecke geöffnet.
  • Der Abstand zu einem Schenkel wird schräg statt senkrecht gemessen.
  • „Die Mittelsenkrechte ist eine Strecke.“ – Sie ist eine Gerade; auch Punkte weit weg von $[AB]$ liegen darauf.
  • „Der Umkreismittelpunkt liegt immer im Dreieck.“ – Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt er außerhalb.