Die natürliche Exponentialfunktion

Worum geht es?

Jede Exponentialfunktion $f(x) = b^x$ mit $b > 1$ wächst – und zwar umso schneller, je größer ihr Funktionswert schon ist. Genauer: Die Ableitung ist ein festes Vielfaches der Funktion selbst,

Für $b = 2$ ist der Faktor $\ln 2 \approx 0{,}693$: Der Graph von $f'$ liegt unter dem von $f$. Für $b = 3$ ist $\ln 3 \approx 1{,}099$: $f'$ liegt über $f$. Dazwischen gibt es genau eine Basis, für die der Faktor $1$ ist – die eulersche Zahl

Die Funktion $f(x) = e^x$ heißt natürliche Exponentialfunktion. Sie ist ihre eigene Ableitung: An jeder Stelle ist die Steigung so groß wie der Funktionswert. Im Punkt $(0 \mid 1)$ hat ihr Graph die Steigung $1$, die Tangente dort ist $y = x + 1$.

Tangente und Steigungsdreieck. Die Tangente im Punkt $P(x_0 \mid e^{x_0})$ lautet

Sie schneidet die $x$-Achse immer bei $x_0 - 1$. Das Dreieck aus diesem Schnittpunkt, dem Fußpunkt $(x_0 \mid 0)$ und $P$ hat also die Grundseite 1 und die Höhe $f(x_0)$ – seine Steigung ist genau der Funktionswert.

Wo kommt e her? Legt man $1\,€$ zu $100\,\%$ Jahreszins an und verzinst $n$-mal im Jahr mit je $\frac{100\,\%}{n}$, hat man nach einem Jahr

Die Folge wächst, bleibt aber unter $e$ und nähert sich $e$ beliebig an.

Steckbrief von $f(x) = e^x$: $D = \mathbb{R}$, $W = \mathbb{R}^+$, keine Nullstelle, Schnittpunkt mit der $y$-Achse $(0 \mid 1)$, Asymptote $y = 0$ für $x \to -\infty$, streng monoton steigend, linksgekrümmt, $f' = f$, Stammfunktion $F(x) = e^x + C$. Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus $\ln x$: $\ln(e^x) = x$ und $e^{\ln x} = x$ für $x > 0$; ihr Graph entsteht durch Spiegelung an $y = x$.

Ausprobieren

1. Ziehe den Punkt $(1 \mid b)$ langsam nach oben. Beobachte die rot gestrichelte Ableitung und die Wertetabelle: Die letzte Spalte $f' : f$ ist in jeder Zeile gleich. Beispiel laden
2. Stelle $b = 3$ ein. Liegt $f'$ jetzt über oder unter $f$? Vergleiche mit der Steigung der orangen Tangente in $(0 \mid 1)$. Beispiel laden
3. Klicke auf Basis e suchen: Die Basis läuft von $1{,}5$ bis $4$ und wieder zurück. Bei $b = e$ rastet sie ein, die Graphen von $f$ und $f'$ fallen zusammen. Beispiel laden
4. Wechsle zur Tangente und ziehe $P$. Wo schneidet die Tangente die $x$-Achse? Wie hoch ist das Steigungsdreieck? Beispiel laden
5. Klicke auf Punkt entlangfahren und achte auf die Grundseite des Dreiecks.
6. Schalte die Umkehrfunktion ein: Der Graph von $e^x$ klappt an $y = x$ zum Graphen von $\ln x$ um, aus $P(1 \mid e)$ wird $P'(e \mid 1)$. Beispiel laden
7. Wechsle zu e entsteht und klicke auf n wachsen lassen. Wie viele Nachkommastellen von $e$ stimmen bei $n = 1000$, wie viele bei $n = 1\,000\,000$? Beispiel laden

Aufgaben

Bestimme mit dem Steigungsdreieck an der Tangente in $(0 \mid 1)$ die Steigung des Graphen von $f(x) = 2^x$ an der Stelle $0$. Berechne damit $f'(1)$ und $f'(3)$.

Aufgabe 2: Größer oder kleiner?

Ohne Rechner: Liegt der Graph der Ableitung von $f(x) = 3^x$ über oder unter dem von $f$? Begründe mit der Lage von $3$ und $e$.

Stelle die Gleichung der Tangente an $y = e^x$ im Punkt $P(2 \mid e^2)$ auf und bestimme ihre Nullstelle.

Aufgabe 4: Tangente durch den Ursprung

In welchem Punkt $P$ geht die Tangente an $y = e^x$ durch den Ursprung? Gib ihre Gleichung an.

Aufgabe 5: Zinseszins

a) Berechne $\left(1 + \frac{1}{4}\right)^4$ (vierteljährliche Verzinsung) und vergleiche mit $n = 12$. b) Um wie viel liegt die tägliche Verzinsung ($n = 365$) noch unter $e$? c) Realistischer: $5\,\%$ Jahreszins, monatlich verzinst. Vergleiche $\left(1 + \frac{0{,}05}{12}\right)^{12}$ mit $e^{0{,}05}$.

Der Punkt $P(2 \mid e^2)$ liegt auf dem Graphen von $e^x$. Welcher Punkt liegt dann auf dem Graphen von $\ln x$? Berechne damit $\ln(7{,}389)$ näherungsweise.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Oberstufe, natürliche Exponentialfunktion. Die Ansicht „Die besondere Basis“ eignet sich als Einstieg: Die Frage „Gibt es eine Exponentialfunktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt?“ lässt sich durch Ziehen am Punkt $(1 \mid b)$ erforschen, bevor $e$ benannt wird.
• Ableitung von $b^x$: Die Formel $f'(x) = \ln b \cdot b^x$ setzt die Kettenregel ($b^x = e^{x \ln b}$) voraus. Ohne sie kann man den konstanten Faktor auch rein numerisch entdecken: Die Wertetabelle berechnet $f'$ mit dem Differenzenquotienten.
• Zinseszins: Die Ansicht „e entsteht“ zeigt eine anschauliche Bedeutung von $e$ (stetige Verzinsung). Dass die Folge $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ wirklich gegen $e$ konvergiert, wird hier nur sichtbar gemacht, nicht bewiesen.
• Häufige Stolpersteine:
  • „$e^x$ und $x^e$ sind dasselbe.“ – Bei $e^x$ steht die Variable im Exponenten; $(x^e)' = e \cdot x^{e-1}$.
  • „Die Ableitung von $2^x$ ist $x \cdot 2^{x-1}$.“ – Die Potenzregel gilt nur für $x^n$, nicht für Exponentialfunktionen.
  • „Der Graph von $e^x$ schneidet irgendwann die $x$-Achse.“ – $e^x > 0$ für alle $x$; die $x$-Achse ist Asymptote.
  • Beim Spiegeln an $y = x$ wird oft an der $x$-Achse gespiegelt; die Umkehrfunktion vertauscht $x$ und $y$.
• Aufgabenmodus: Mit info=0 und Teilen → Ergebnisse verdecken werden Werte im Bild und in den Ergebnissen verdeckt; Graphen, Tangente und Dreieck bleiben zum Ablesen sichtbar.