Gesetz der großen Zahlen

Worum geht es?

Wirft man einen Würfel $n$ -mal und erhält dabei $k$ -mal eine Sechs, dann ist

$k$ die absolute Häufigkeit und
$h_n = \dfrac{k}{n}$ die relative Häufigkeit der Sechs.

Beispiel: $17$ Sechsen bei $100$ Würfen ergeben $h_{100} = \dfrac{17}{100} = 0{,}17 = 17\,\%$ .

Bei wenigen Würfen schwankt $h_n$ stark. Je öfter man wirft, desto mehr stabilisiert sich die relative Häufigkeit – und zwar in der Nähe der Wahrscheinlichkeit $p$ (Münze: $p = 0{,}5$ , Würfel: $p = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$ ). Das nennt man das empirische Gesetz der großen Zahlen.

Eine Garantie gibt es dabei nicht: Meistens liegt $h_n$ bei mehr Würfen näher an $p$ , aber nicht immer. Auch nach vielen Würfen kann $h_n$ wieder etwas weiter weg sein – große Abweichungen werden nur immer unwahrscheinlicher.

Umgekehrt nutzt man das, um unbekannte Wahrscheinlichkeiten zu schätzen: Beim Reißnagel kann man $p$ für „Spitze oben“ nicht ausrechnen – aber nach sehr vielen Würfen ist $h_n$ ein guter Schätzwert für $p$ .

Wichtig: Der Zufall „gleicht nichts aus“. Ein Würfel hat kein Gedächtnis – nach fünf Würfen ohne Sechs ist die Sechs beim nächsten Wurf nicht wahrscheinlicher. Die relative Häufigkeit nähert sich $p$ , weil sich frühe Ausreißer auf immer mehr Würfe verteilen.

Der Trichter

Der grüne Trichter zeigt den Bereich $p \pm 1{,}96 \cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ . In ihm liegt die relative Häufigkeit nach $n$ Würfen bei etwa 95 % aller Versuchsreihen. Er wird mit wachsendem $n$ immer enger – für viermal so viele Würfe halb so breit.

Ausprobieren

Wirf den Würfel einzeln und beobachte, wie stark die Kurve am Anfang springt. Warum ist das so?
Wirf 1000-mal oder drücke Abspielen. Wo pendelt sich die Kurve ein?
Vergleiche mit der Münze: Ist die Kurve schneller „ruhig“? Münze
Schätze die Wahrscheinlichkeit beim Reißnagel, ohne sie vorher anzuzeigen. Reißnagel
Schalte die logarithmische Achse aus. Was siehst du dann besser, was schlechter? Lineare Achse

Aufgaben

Aufgabe 1: Erwartung

Wie oft erwartest du ungefähr eine Sechs, wenn du $600$ -mal würfelst? Ist es verdächtig, wenn es nur $92$ Sechsen sind?

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Erwartet sind etwa $600 \cdot \frac{1}{6} = 100$ Sechsen. $92$ Sechsen sind nicht verdächtig: Das ist eine relative Häufigkeit von etwa $0{,}153$ . Der Trichter reicht bei $n = 600$ ungefähr von $0{,}137$ bis $0{,}196$ – $0{,}153$ liegt also im üblichen Schwankungsbereich.

Aufgabe 2: Reißnagel schätzen

Wirf den Reißnagel 1000-mal, ohne die Wahrscheinlichkeit einzublenden. Gib einen Schätzwert für $p$ („Spitze oben“) an und vergleiche dann mit dem eingestellten Wert (schalte dazu „Wahrscheinlichkeit p einzeichnen“ ein). Aufgabe laden

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Der Schätzwert ist die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen. Eingestellt ist $p = 0{,}6$ ; nach 1000 Würfen liegt $h$ meist zwischen etwa $0{,}57$ und $0{,}63$ .

Aufgabe 3: Hat der Würfel ein Gedächtnis?

Lena sagt: „Ich habe fünfmal keine Sechs gewürfelt, jetzt muss bald eine kommen!“ Nimm Stellung.

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Lena irrt (das ist der sogenannte Spielerfehlschluss). Die Würfe sind unabhängig – die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs ist bei jedem Wurf $\frac{1}{6}$ , egal was vorher geschah. Dass sich die relative Häufigkeit $p$ nähert, liegt nicht an einem Ausgleich, sondern daran, dass frühere Abweichungen bei großem $n$ kaum noch ins Gewicht fallen.

Aufgabe 4: Absolute und relative Abweichung

Beobachte bei vielen Würfen die Abweichung der Anzahl $|k - n \cdot p|$ und die Abweichung der relativen Häufigkeit $|h_n - p|$ . Beide stehen unter Ergebnisse. Was fällt auf?

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Die Abweichung $|h_n - p|$ wird typischerweise immer kleiner. Die Abweichung der Anzahl $|k - n \cdot p|$ wird dagegen typischerweise sogar größer (etwa wie $\sqrt{n}$ ). Das Gesetz der großen Zahlen sagt also nicht, dass sich die Anzahlen „ausgleichen“.

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 6 bis 8 (Laplace-Experimente: relative Häufigkeit und empirisches Gesetz der großen Zahlen). Der Reißnagel ist das klassische Beispiel für eine Wahrscheinlichkeit, die man nur experimentell bestimmen kann.
Bilder: Würfel, Münze, Reißnagel und Tisch werden als Fotos gezeigt; fehlt ein Bild, zeichnet die Simulation eine Ersatzgrafik.
Häufige Stolpersteine:
- Spielerfehlschluss („jetzt ist die Sechs dran“).
- „Bei 600 Würfen kommen genau 100 Sechsen.“
- Die Wahrscheinlichkeit wird mit der relativen Häufigkeit einer kurzen Versuchsreihe gleichgesetzt.
Trichter: Die Grenzen beruhen auf der Normalverteilungsnäherung und sind für kleine $n$ nur grob – in der Unterstufe genügt die Deutung „fast alle Versuchsreihen liegen darin“.