Integralfunktion und Hauptsatz

Worum geht es?

Hält man die untere Grenze $a$ fest und lässt die obere Grenze $x$ variieren, wird das Integral zu einer Funktion von $x$, der Integralfunktion

$I_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt.$

Sie misst die orientierte Fläche (Flächenbilanz) zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse: Teile oberhalb zählen positiv (grün), Teile unterhalb negativ (rot). Es gilt immer $I_a(a) = 0$. Ist $x < a$, wird „rückwärts“ gezählt und das Vorzeichen dreht sich um. Der Flächeninhalt ist dagegen $A^+ + A^-$.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (für stetiges $f$):

1. $I_a'(x) = f(x)$. Wächst $x$ um $h$, kommt ein Streifen dazu. Seine Fläche ist $I_a(x+h) - I_a(x)$, seine mittlere Höhe liegt zwischen dem kleinsten und dem größten Funktionswert auf dem Streifen: $\min f \;\le\; \frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h} \;\le\; \max f.$ Für $h \to 0$ rücken $\min f$ und $\max f$ beide an $f(x)$ heran – die Sekantensteigung von $I_a$ wird zur Tangentensteigung $f(x)$.
2. Ist $F$ irgendeine Stammfunktion von $f$, dann gilt $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \bigl[F(x)\bigr]_a^b.$ Eine Konstante $C$ kürzt sich heraus: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$.

Folgen für den Graphen von $I_a$: Wo $f > 0$ ist, steigt $I_a$; wo $f < 0$ ist, fällt $I_a$. Nullstellen von $f$ mit Vorzeichenwechsel sind Extremstellen von $I_a$, Extremstellen von $f$ sind Wendestellen von $I_a$. Ein anderes $a$ verschiebt den Graphen nur senkrecht: $I_b(x) = I_a(x) - I_a(b)$.

Riemann-Summen: Teilt man $[a; b]$ in $n$ Streifen der Breite $h = \frac{b-a}{n}$, nähert die Summe der Rechteck- bzw. Trapezflächen das Integral an. Für $n \to \infty$ streben alle gegen $\int_a^b f(x)\,dx$ – Mittelpunkt- und Trapezsumme besonders schnell.

Anwendungen: Integriert man eine Änderungsrate, erhält man die Gesamtänderung des Bestands: Geschwindigkeit → Weg, Zufluss → Wassermenge, Leistung → Energie, Grenzkosten → Kosten, Wachstumsrate → Zuwachs, Aufnahmerate → Wirkstoffmenge, Regenintensität → Regenmenge, Luftstrom → Luftmenge.

Ausprobieren

1. Parabel: Drücke „Fläche wachsen lassen“ und beobachte, wie der orange Graph von $I_{-1}$ mitwächst. Wo steigt er, wo fällt er?
2. Ziehe $x$ links von $a$. Warum ändert sich das Vorzeichen, obwohl die Fläche gleich aussieht?
3. Streifen h → 0: Drücke „h gegen 0 gehen lassen“. Was passiert mit der Sekante unten, was mit min und max oben? Vergleiche die Tabelle.
4. Rechenweg: Lass den Rechenweg Schritt für Schritt laufen. Verändere dann die Konstante $C$ – warum bleibt das Ergebnis gleich?
5. Polynom 3. Grades: Suche die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von $I_{-3}$ im Graphen von $f$. Drücke „untere Grenze a wandern lassen“.
6. Sprungstelle: $I$ ist stetig, hat aber an der Sprungstelle einen Knick – dort ist $I$ nicht differenzierbar.
7. Riemann-Summen für x²: Wechsle zwischen links, rechts, Mitte und Trapez, dann „Streifen verfeinern“.
8. Anwendungen: Auto, Solaranlage, Stausee, Medikament, Gewitter, Atemzug. Was bedeutet die Fläche jeweils, und welche Einheit hat sie?

Aufgaben

Aufgabe 1: Mit Stammfunktion berechnen

Berechne $\int_{-1}^{2} (0{,}5x^2 - 1)\,dx$ und den Flächeninhalt zwischen Graph und $x$-Achse auf $[-1; 2]$. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Zwei berühmte Integrale

Berechne $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ und $\int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx$. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Integralfunktion untersuchen

Wo hat $I_{-1}(x) = \int_{-1}^x (0{,}5t^2 - 1)\,dt$ Extrem- und Wendestellen? Aufgabe laden

Aufgabe 4: Wie weit fährt das Auto?

Ein Auto fährt 5 s lang mit $v(t) = 3t$ (in m/s) an, fährt dann 15 s mit $15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ und bremst in 5 s gleichmäßig bis zum Stillstand. Berechne den Weg. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Grenzkosten und Fixkosten

Die Grenzkosten sind $K'(x) = 0{,}3x^2 - 3x + 10$ (GE pro ME), die Fixkosten $20$ GE. Bestimme $K(10)$ und die Stelle, an der $K$ von rechts- in linksgekrümmt übergeht. Aufgabe laden

Aufgabe 6: Riemann-Summen

Berechne für $f(x) = x^2$ auf $[0; 2]$ mit $n = 4$ die linke, rechte, Mittelpunkt- und Trapezsumme und vergleiche mit dem Integral. Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Oberstufe (Integralfunktion, Hauptsatz, Flächenbilanz), dazu Analysis im ersten Studienjahr. Die Ansichten lassen sich als Abfolge nutzen: Integralfunktion → Ableitung (Beweisidee) → Berechnen → Kurvendiskussion von $I_a$ → Riemann-Summen als Ausblick oder Wiederholung.
• Anwendungen: Die acht Beispiele zeigen „Änderungsrate integrieren ergibt Bestandsänderung“ mit Einheiten (m/s · s = m, kW · h = kWh). Gut für Gruppenarbeit: Jede Gruppe stellt eine Anwendung vor und deutet Nullstellen und Extrema von $f$ im Sachzusammenhang.
• Aufgaben aus dem Bild: Mit „Werte zeigen“ aus (show=0) eignen sich die Bilder als Rechenaufgaben.
• Häufige Stolpersteine:
  • Integral und Flächeninhalt werden verwechselt, wenn $f$ das Vorzeichen wechselt.
  • Integralfunktion und Stammfunktion werden gleichgesetzt: Jede Integralfunktion hat eine Nullstelle, $F(x) = x^2 + 1$ zu $f(x) = 2x$ hat keine.
  • Bei $F(b) - F(a)$ wird die Reihenfolge vertauscht oder bei negativem $F(a)$ die Klammer vergessen.
  • Der Hauptsatz setzt Stetigkeit voraus – an einer Sprungstelle hat $I$ einen Knick.