Extremwertprobleme

Worum geht es?

Bei einem Extremwertproblem sucht man den größten oder kleinsten Wert einer Größe – das größte Volumen, die kleinste Oberfläche, die kürzeste Zeit. Oben im Bild verändert sich das Objekt mit der Variablen, darunter läuft der Punkt auf dem Graphen der Zielfunktion mit, ganz unten zeigt der Streifen die Ableitung: grün, wo die Zielfunktion steigt, rot, wo sie fällt. Das Vorgehen ist immer gleich:

Zielfunktion: die Größe, die optimal werden soll, als Formel (z. B. $V = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe}$ ).
Nebenbedingung: Zusammenhänge nutzen, bis nur noch eine Variable übrig ist.
Definitionsbereich: Welche Werte sind im Sachzusammenhang sinnvoll?
Notwendige und hinreichende Bedingung: $Z'(x) = 0$ ; Vorzeichenwechsel von $Z'$ oder Vorzeichen von $Z''$ .
Ränder vergleichen (ein Randwert kann besser sein als jedes lokale Extremum!) und das Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren.

Schachtel: Aus einem Karton $30\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}$ werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge $x$ ausgeschnitten, dann werden die Ränder hochgeklappt: $V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$ , $0 < x < 10$ . $V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 0 \iff 3x^2 - 50x + 150 = 0$ liefert $x_1 \approx 3{,}92$ und $x_2 \approx 12{,}74 \notin D$ . Mit $V''(3{,}92) < 0$ und $V(x) \to 0$ für $x \to 0$ und $x \to 10$ (die Ränder gehören nicht zu $D$ ) ist das Maximum $V \approx 1056{,}3\,\text{cm}^3$ .

Dose: Bei festem Volumen $V$ gilt $h = \frac{V}{\pi r^2}$ , also $O(r) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$ . Aus $O'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ folgt $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ – und dann ist $h = 2r$ : Die beste Dose ist so hoch wie breit. Für $V = 1\,\text{L}$ : $r \approx 5{,}42\,\text{cm}$ , $h \approx 10{,}84\,\text{cm}$ , $O = 6\pi r^2 \approx 553{,}6\,\text{cm}^2$ .

Zylinder im Kegel: Nach dem Strahlensatz ist $h = H\left(1 - \frac{r}{R}\right)$ , also $V(r) = \pi r^2 H\left(1 - \frac{r}{R}\right)$ . Das Maximum liegt bei $r = \frac{2}{3}R$ , $h = \frac{H}{3}$ mit $V = \frac{4\pi R^2 H}{27}$ – das sind immer $\frac{4}{9}$ des Kegelvolumens.

Rettungsschwimmer: Er steht $20\,\text{m}$ vom Wasser entfernt, die Person ist $30\,\text{m}$ vom Ufer und seitlich $60\,\text{m}$ entfernt. Geht er an der Stelle $x$ ins Wasser, braucht er $T(x) = \frac{\sqrt{20^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{30^2 + (60 - x)^2}}{v_2}$ , $0 \le x \le 60$ . $T'(x) = 0$ lässt sich nur numerisch lösen (die Karte zeigt das Newton-Verfahren). Für $v_1 = 7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $v_2 = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ : $x \approx 51{,}71\,\text{m}$ , $T \approx 23{,}48\,\text{s}$ . Im Optimum gilt $\frac{\sin \alpha_1}{v_1} = \frac{\sin \alpha_2}{v_2}$ – das Brechungsgesetz der Optik.

Ausprobieren

Schachtel: Ziehe am Griff an der Schachtelkante oder am Punkt auf dem Graphen. Wann ist die Schachtel flach, wann hoch und schmal?
Drücke „Optimum suchen“: $x$ läuft durch den ganzen Definitionsbereich, der Graph entsteht, dann wird die Ableitung null gesetzt. Beobachte die Tangente.
Karton flach: Ziehe an der Ecke eines Ausschnitts und drücke dann „Falten“. Warum liegt die zweite Nullstelle von $V'$ bei $\frac{20}{3}$ nicht im Definitionsbereich? Und gilt beim quadratischen Karton $x = \frac{a}{6}$ ?
1-Liter-Dose: Ziehe den Rand der Dose. Ab wann wird die Dose „zu hoch“ für das Bild? Wie verhält sich $O(r)$ an den Rändern? Echte Getränkedosen sind schlanker als das Optimum – was könnte dafür sprechen?
Rechteck: Breiter heißt niedriger. Wo gleichen sich beide Effekte aus?
Zylinder im Kegel: Verändere $R$ und $H$ . Was bleibt in der Karte „Probe“ immer gleich?
Rettungsschwimmer: Die gerade Linie ist der kürzeste, aber nicht der schnellste Weg. Starte das „Wettrennen“. Vergleiche in der Karte „Brechungsgesetz“ die beiden Quotienten. Wo liegt das Optimum, wenn beide gleich schnell sind?

Aufgaben

Aufgabe 1: Kleiner Karton

Ein Karton misst $16\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}$ . Stelle $V(x)$ als Polynom auf und bestimme das Maximum. Aufgabe laden

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$V(x) = x(16 - 2x)(10 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$ , $0 < x < 5$ . $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 0 \iff 3x^2 - 26x + 40 = 0 \iff x = 2$ oder $x = \frac{20}{3}$ ; nur $x = 2$ liegt in $D$ . $V(2) = 2 \cdot 12 \cdot 6 = 144\,\text{cm}^3$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Dose

Eine Dose soll $500\,\text{cm}^3$ fassen. Bestimme Radius, Höhe und Oberfläche der Dose mit dem geringsten Blechverbrauch. Aufgabe laden

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$O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}$ , $O'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0 \Rightarrow r^3 = \frac{250}{\pi} \Rightarrow r \approx 4{,}30\,\text{cm}$ . $O''(r) = 4\pi + \frac{2000}{r^3} > 0$ : Minimum. $h = \frac{500}{\pi r^2} \approx 8{,}60\,\text{cm} = 2r$ , $O = 6\pi r^2 \approx 348{,}7\,\text{cm}^2$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Rechteck unter der e-Funktion

Ein Rechteck liegt mit zwei Seiten auf den Koordinatenachsen: Eine Ecke liegt im Ursprung, die gegenüberliegende Ecke $P(u \mid f(u))$ liegt auf dem Graphen von $f(x) = 3e^{-0{,}5x}$ . Für welches $u$ ist der Flächeninhalt maximal? Aufgabe laden

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$A(u) = 3u\,e^{-0{,}5u}$ , $A'(u) = 3e^{-0{,}5u}(1 - 0{,}5u) = 0 \Rightarrow u = 2$ , da $e^{-0{,}5u} \neq 0$ . $A''(2) = 3e^{-1}(0{,}5 - 1) < 0$ . $A(2) = \frac{6}{e} \approx 2{,}21$ . Ränder: $A(u) \to 0$ für $u \to 0$ und für $u \to \infty$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Zylinder im Kegel

In einen Kegel mit $R = 9\,\text{cm}$ und $H = 15\,\text{cm}$ wird ein Zylinder gestellt. Welcher Zylinder hat das größte Volumen? Welcher Anteil des Kegels ist das? Aufgabe laden

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Strahlensatz: $\frac{h}{15} = \frac{9 - r}{9}$ , also $h = 15 - \frac{5}{3}r$ und $V(r) = \pi\left(15r^2 - \frac{5}{3}r^3\right)$ , $0 < r < 9$ . $V'(r) = \pi(30r - 5r^2) = 5\pi r(6 - r) = 0 \Rightarrow r = 6$ . $h = 5\,\text{cm}$ , $V = 180\pi \approx 565{,}5\,\text{cm}^3$ . Der Kegel hat $\frac{1}{3}\pi \cdot 81 \cdot 15 = 405\pi$ , der Zylinder füllt also $\frac{4}{9}$ davon. In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Rettungsschwimmer

Stelle $T(x)$ für $v_1 = 7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $v_2 = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ auf. Vergleiche die gerade Linie (warum $x = 24$ ?), den Weg „erst bis gegenüber laufen“ ( $x = 60$ ) und das Optimum. Aufgabe laden

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Die gerade Linie schneidet das Ufer nach dem Strahlensatz bei $x = 60 \cdot \frac{20}{50} = 24$ : $T(24) \approx 27{,}89\,\text{s}$ . Bis gegenüber: $T(60) = \frac{\sqrt{4000}}{7} + 15 \approx 24{,}04\,\text{s}$ . Optimum (numerisch, z. B. Newton-Verfahren): $x \approx 51{,}71\,\text{m}$ , $T \approx 23{,}48\,\text{s}$ . Wegen $T(0) \approx 36{,}40\,\text{s}$ und $T(60) \approx 24{,}04\,\text{s}$ ist das Minimum global – aber nur knapp besser als der Rand. In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Anwendungen der Differentialrechnung in der Oberstufe. Die Schachtel eignet sich als Einstieg, Kegel und Rettungsschwimmer als Vertiefung.
Einstieg: Schachteln aus DIN-A4-Papier mit verschiedenen $x$ falten und vergleichen; „Optimum suchen“ zeigt danach erst das Probieren, dann die Rechnung. Vielleicht schätzt die Klasse vorher, welches $x$ am besten ist.
Aufgabenmodus: Mit „Lösungsweg zeigen“ aus sind Graph, Ergebnisse und Lösungsweg verdeckt; das Bild bleibt bedienbar. „Lösung aufdecken“ löst Schritt für Schritt auf.
Modellkritik: Warum sind echte Getränkedosen nicht optimal? (Falz, Stabilität, Griffigkeit, Werbefläche.)
Fächerverbindend: Der Rettungsschwimmer führt zum Brechungsgesetz und zum Fermat-Prinzip – ein Anlass für eine gemeinsame Stunde mit Physik.
Häufige Stolpersteine:
- Die Nebenbedingung wird nicht eingesetzt – die Zielfunktion hat noch zwei Variablen.
- Lösungen außerhalb des Definitionsbereichs werden übernommen (zweite Nullstelle bei der Schachtel).
- Die Randwerte werden nicht verglichen – beim Rettungsschwimmer ist $T(60)$ nur knapp schlechter als das Optimum.
- Die zweite Ableitung wird an der falschen Stelle ausgewertet oder ihr Vorzeichen falsch gedeutet.