Winkel an Geradenkreuzungen

Worum geht es?

Zwei Geraden schneiden sich im Punkt $S$ . Dabei entstehen vier Winkel $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ (gegen den Uhrzeigersinn).

Scheitelwinkel liegen sich am Schnittpunkt gegenüber. Sie sind gleich groß: $\alpha = \gamma$ und $\beta = \delta$ .
Nebenwinkel liegen nebeneinander an einer Geraden und bilden zusammen einen gestreckten Winkel. Sie ergänzen sich zu $180^\circ$ : $\alpha + \beta = 180^\circ$ .

Beispiel: Bei einem Schnittwinkel von $\alpha = 65^\circ$ ist $\gamma = 65^\circ$ und $\beta = \delta = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ . Zusammen ergeben alle vier Winkel $360^\circ$ . Stehen die Geraden senkrecht aufeinander, sind alle vier Winkel $90^\circ$ groß.

Doppelkreuzung: Zwei Geraden $g$ und $h$ werden von einer dritten Geraden $s$ geschnitten. An jeder Kreuzung liegen vier Winkel, hier $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1$ an $g$ und $\alpha_2, \beta_2, \gamma_2, \delta_2$ an $h$ .

Winkelpaar	Lage	Figur	bei $g \parallel h$
Stufenwinkel	an beiden Kreuzungen an der gleichen Stelle	F	gleich groß
Wechselwinkel	verschiedene Seiten von $s$ , beide zwischen $g$ und $h$ (oder beide außen)	Z	gleich groß
Nachbarwinkel	gleiche Seite von $s$ , beide zwischen $g$ und $h$ (oder beide außen)	E	Summe $180^\circ$

Warum? Verschiebt man die Kreuzung an $g$ entlang $s$ , bis sie auf der Kreuzung an $h$ liegt, so deckt sich $g$ genau dann mit $h$ , wenn $g \parallel h$ ist – dann decken sich auch die Stufenwinkel. Wechselwinkel sind Scheitelwinkel von Stufenwinkeln: $\gamma_2 = \alpha_2 = \alpha_1$ . Umgekehrt gilt: Sind Stufenwinkel (oder Wechselwinkel) gleich groß, dann sind $g$ und $h$ parallel.

g \parallel h \;\Longrightarrow\; \alpha_1 = \alpha_2, \qquad \alpha_1 = \gamma_2, \qquad \alpha_1 + \delta_2 = 180^\circ

Ausprobieren

Ziehe die Griffe auf $g$ und $h$ . Welche Winkel bleiben immer gleich groß? Was ergeben zwei benachbarte Winkel zusammen? Beispiel laden
Drücke „Nebenwinkel zusammenlegen“ und „Scheitelwinkel drehen“. Tippe vorher einen anderen Winkel an.
Stelle senkrechte Geraden und fast parallele Geraden ein. Was passiert mit den Nebenwinkeln?
Wechsle zur Doppelkreuzung. Drücke „Entlang s verschieben“: Die Kreuzung an $g$ gleitet nach oben. Was fällt dir auf?
Wähle Wechselwinkel und drücke „Um 180° drehen“.
Schalte „g ∥ h“ aus (Beispiel) und verschiebe noch einmal. Wie groß ist der Unterschied?
Begründe im Aufgabenmodus jeden Winkel. Lies die Begründung in der Seitenleiste nach.

Aufgaben

Aufgabe 1: Vier Winkel

Zwei Geraden schneiden sich unter $\alpha = 38^\circ$ . Bestimme $\beta$ , $\gamma$ und $\delta$ und begründe. Aufgabe laden

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$\gamma = 38^\circ$ (Scheitelwinkel zu $\alpha$ ), $\beta = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$ (Nebenwinkel zu $\alpha$ ), $\delta = 142^\circ$ (Scheitelwinkel zu $\beta$ ). Probe: $38^\circ + 142^\circ + 38^\circ + 142^\circ = 360^\circ$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Dreimal so groß

Ein Winkel ist dreimal so groß wie sein Nebenwinkel. Wie groß sind die beiden Winkel?

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Nebenwinkel $x$ , Winkel $3x$ : $x + 3x = 180^\circ$ , also $4x = 180^\circ$ und $x = 45^\circ$ . Die Winkel sind $45^\circ$ und $135^\circ$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Acht Winkel an Parallelen

$g \parallel h$ , die Querlinie $s$ schneidet $g$ unter $\alpha_1 = 62^\circ$ . Bestimme alle acht Winkel. Aufgabe laden

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$\gamma_1 = 62^\circ$ (Scheitelwinkel), $\beta_1 = \delta_1 = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$ (Nebenwinkel). Wegen $g \parallel h$ sind die Stufenwinkel gleich: $\alpha_2 = \gamma_2 = 62^\circ$ , $\beta_2 = \delta_2 = 118^\circ$ . Alle Winkel sind also $62^\circ$ oder $118^\circ$ groß. In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Eine Begründungskette

$g \parallel h$ und $\beta_2 = 70^\circ$ . Bestimme $\alpha_1$ und begründe jeden Schritt. Aufgabe laden

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$\alpha_2 = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ (Nebenwinkel zu $\beta_2$ ), dann $\alpha_1 = \alpha_2 = 110^\circ$ (Stufenwinkel, $g \parallel h$ ). Andere Wege sind ebenso richtig, z. B. $\beta_1 = \beta_2 = 70^\circ$ (Stufenwinkel) und $\alpha_1 = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ (Nebenwinkel).

Aufgabe 5: Parallel oder nicht?

Die Querlinie $s$ schneidet $g$ unter $\alpha_1 = 50^\circ$ und $h$ unter $\alpha_2 = 58^\circ$ . Sind $g$ und $h$ parallel? Begründe mit einem Winkelpaar. Aufgabe laden

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Nein. $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind Stufenwinkel. Wären $g$ und $h$ parallel, müssten sie gleich groß sein; sie unterscheiden sich aber um $58^\circ - 50^\circ = 8^\circ$ . Die Geraden schneiden sich also irgendwo (hier außerhalb des Bildes). Verschieben zeigt den Unterschied

Aufgabe 6: Umkehrung (Vertiefung)

An einer Doppelkreuzung ist $\alpha_1 = 75^\circ$ und $\delta_2 = 105^\circ$ . Begründe, dass $g \parallel h$ gilt.

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$\alpha_2 = 180^\circ - \delta_2 = 75^\circ$ (Nebenwinkel). Damit sind die Stufenwinkel $\alpha_1$ und $\alpha_2$ gleich groß, also ist $g \parallel h$ . Kürzer: Die Nachbarwinkel $\alpha_1$ und $\delta_2$ ergänzen sich zu $75^\circ + 105^\circ = 180^\circ$ . In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 7, Winkel an Figuren: Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel als Grundlage für den Beweis der Innenwinkelsumme. Die Animationen eignen sich als gemeinsamer Einstieg am Whiteboard, der Aufgabenmodus für Einzel- oder Partnerarbeit mit mündlichen Begründungen.
Argumentieren: Der Aufgabenmodus zeigt zu jedem angetippten Winkel eine kurze Begründungskette. Es kann reizvoll sein, die Lernenden zuerst selbst begründen zu lassen und die angezeigte Kette als Vergleich zu nutzen – oft gibt es mehrere richtige Wege.
Begriffe: Für die E-Figur sind verschiedene Namen üblich (Nachbarwinkel, entgegengesetzte Winkel, E- oder U-Winkel). Manche Schulbücher schreiben $\alpha'$ , $\beta'$ , … statt $\alpha_2$ , $\beta_2$ , … Bitte am eingeführten Schulbuch prüfen, welche Begriffe in Ihrer Klasse verwendet werden.
Modell: Winkel werden auf ganze Grad gerundet; $g \parallel h$ bedeutet hier, dass $s$ beide Geraden unter demselben Winkel schneidet.
Häufige Stolpersteine:
- „Stufenwinkel sind immer gleich groß“ – nur, wenn $g$ und $h$ parallel sind. Das Verschieben bei nicht parallelen Geraden macht den Unterschied sichtbar.
- Scheitel- und Nebenwinkel werden verwechselt: Scheitelwinkel liegen gegenüber und haben nur den Scheitel gemeinsam, Nebenwinkel haben einen gemeinsamen Schenkel.
- Wechselwinkel werden auf derselben Seite von $s$ gesucht – die Z-Figur hilft.
- In Begründungen fehlt die Voraussetzung „weil $g \parallel h$ “.