Sinussatz und Kosinussatz

Worum geht es?

Sinus, Kosinus und Tangens helfen im rechtwinkligen Dreieck. Für beliebige Dreiecke gibt es zwei Sätze. Dabei gehören immer eine Seite und der Winkel gegenüber zusammen: $a$ und $\alpha$, $b$ und $\beta$, $c$ und $\gamma$ – in der Simulation haben sie dieselbe Farbe.

Sinussatz: In jedem Dreieck ist das Verhältnis aus einer Seite und dem Sinus ihres Gegenwinkels gleich – und zwar gleich dem Durchmesser $2r$ des Umkreises:

Beweisidee: Die Höhe $h_c$ (Fußpunkt $F$) zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Im Dreieck $AFC$ gilt $\sin \alpha = \frac{h_c}{b}$, also $h_c = b \cdot \sin \alpha$; im Dreieck $BFC$ gilt $h_c = a \cdot \sin \beta$. Gleichsetzen und durch $\sin \alpha \cdot \sin \beta$ teilen ergibt $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$. Ist ein Winkel stumpf, liegt $F$ außerhalb, und man braucht $\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha$.

Kosinussatz: Für die Seite $c$ gegenüber von $\gamma$ gilt

Das ist der „Pythagoras mit Korrektur“. Im Bild sitzen Quadrate an den Seiten. Die Höhen teilen sie in Rechtecke; die beiden Rechtecke an der Ecke $C$ haben jeweils den Inhalt $ab \cdot \cos \gamma$. Nimmt man sie weg, bleibt genau so viel übrig, wie das Quadrat über $c$ groß ist.

Für $\gamma < 90°$ ist $\cos \gamma > 0$: Es wird abgezogen, $c^2 < a^2 + b^2$. Für $\gamma = 90°$ ist $\cos \gamma = 0$ – der Satz des Pythagoras. Für $\gamma > 90°$ ist $\cos \gamma < 0$: Die Rechtecke liegen außen und kommen dazu, $c^2 > a^2 + b^2$.

Umgestellt erhält man einen Winkel aus drei Seiten: $\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. Flächeninhalt: Aus $A = \frac12 \cdot c \cdot h_c$ und $h_c = b \cdot \sin \alpha$ folgt $A = \frac12 \cdot b \cdot c \cdot \sin \alpha$, ebenso $A = \frac12 \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$.

Welcher Satz passt? Drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten mit dem Winkel dazwischen (SWS): Kosinussatz. Eine Seite und zwei Winkel (WSW, zuerst die Winkelsumme) oder zwei Seiten und der Gegenwinkel einer davon (SSW): Sinussatz. Der Fall SSW: Gegeben sind $a$, $c$ und der Winkel $\alpha$ gegenüber von $a$. Der Sinussatz liefert $\sin \gamma = \frac{c \cdot \sin \alpha}{a}$. Dann gibt es drei Möglichkeiten:

• $\sin \gamma > 1$: kein Dreieck. Der Kreis um $B$ mit Radius $a$ erreicht den freien Schenkel nicht.
• $\sin \gamma = 1$ oder $a \geq c$: genau ein Dreieck. Bei $\sin \gamma = 1$ ist $\gamma = 90°$, der Kreis berührt den Schenkel nur.
• $\sin \gamma < 1$ und $a < c$: zwei Dreiecke. Zum Beispiel liefert $\sin \gamma = 0{,}75$ die Winkel $\gamma_1 \approx 48{,}59°$ und $\gamma_2 = 180° - \gamma_1 \approx 131{,}41°$.

Ist $\alpha$ stumpf, gibt es nur dann ein Dreieck, wenn $a$ die längste Seite ist ($a > c$).

Ausprobieren

1. Sinussatz: Ziehe die Ecken. Die drei Balken bleiben immer gleich lang wie der Durchmesser $2r$. Der dunkle Teil ist die Seite – welcher Anteil ist das?
2. Drücke „Beweis abspielen“: Die Höhe fällt, die Teildreiecke leuchten nacheinander auf, die Rechnung entsteht Zeile für Zeile. Bei stumpfem Winkel in B: Wo liegt jetzt $F$? Warum gilt der Satz trotzdem?
3. Kosinussatz: Drücke „γ durch 90° fahren“ und beobachte die orangen Rechtecke an der Ecke $C$. Was passiert bei $90°$, was danach? Vergleiche γ = 90° und γ stumpf.
4. Welcher Satz passt?: Tippe oben im Bild auf SSS, SWS, WSW und SSW. Lass dir die Lösung Schritt für Schritt zeigen.
5. SSW mit zwei Lösungen: Verkleinere $a$ auf $3\,\text{cm}$ und dann auf $2\,\text{cm}$. Wie viele Dreiecke gibt es jeweils?
6. Anwendungen: Ein Fall WSW, ein Fall SWS – Baum am anderen Ufer und Quer über den See. Drücke „Messung abspielen“ und ziehe die Punkte im Lageplan.

Aufgaben

Aufgabe 1: Zwei Seiten und der Winkel dazwischen

Gegeben sind $a = 7\,\text{cm}$, $b = 5\,\text{cm}$ und $\gamma = 60°$. Berechne $c$ und den Flächeninhalt. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Winkel aus drei Seiten

Ein Dreieck hat die Seiten $4\,\text{cm}$, $5\,\text{cm}$ und $6\,\text{cm}$. Berechne alle Winkel. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Zwei Dreiecke?

Gegeben sind $a = 4\,\text{cm}$, $c = 6\,\text{cm}$ und $\alpha = 30°$. Berechne $\gamma$ und $b$. Wie viele Dreiecke gibt es? Aufgabe laden

Aufgabe 4: Baum am anderen Ufer

Am Ufer wird eine Standlinie $|AB| = 200\,\text{m}$ abgesteckt. Von $A$ aus sieht man den Baum $T$ am anderen Ufer unter $\alpha = 70°$ zur Standlinie, von $B$ aus unter $\beta = 60°$. Wie weit ist der Baum von $A$ und von $B$ entfernt, und wie weit von der Standlinie? Aufgabe laden

Aufgabe 5: Quer über den See

Von einem Punkt $C$ aus sind die Orte $A$ und $B$ auf beiden Seiten eines Sees $400\,\text{m}$ bzw. $300\,\text{m}$ entfernt. Der Winkel $\angle ACB$ beträgt $50°$. Wie weit sind $A$ und $B$ voneinander entfernt? Aufgabe laden

Aufgabe 6: Begründen (Knobelaufgabe)

a) In einem Dreieck ist $c^2 > a^2 + b^2$. Was folgt für $\gamma$? b) Warum gibt es im Fall SSW nur ein Dreieck, wenn die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel die längere ist ($a \geq c$)?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 10, Sinus- und Kosinussatz und Sinus/Kosinus am Einheitskreis. Vorwissen: $\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha$ und $\cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha$.
• Entdecken vor Beweisen: Zuerst nur die Balken beobachten lassen („Was bleibt beim Ziehen gleich?“), dann „Beweis abspielen“ gemeinsam kommentieren. Ebenso die γ-Fahrt beim Kosinussatz: Wann wird abgezogen, wann dazugezählt?
• Entscheidungstraining: Kärtchen mit gegebenen Stücken (SSS, SWS, WSW, SSW) sortieren lassen; danach im Löser mit „Ergebnisse zeigen“ aus (show=0) selbst rechnen. Die Fälle entsprechen den Kongruenzsätzen der 7. Klasse; beim Fall SSW zeigt die Kreiskonstruktion, warum es zwei Schnittpunkte geben kann.
• Häufige Stolpersteine:
  • Im Sinussatz werden Seite und Winkel kombiniert, die sich nicht gegenüberliegen.
  • Beim Kosinussatz wird $a^2 + b^2 - 2ab$ zuerst ausgerechnet und dann mit $\cos \gamma$ multipliziert.
  • Im Fall SSW wird nur $\sin^{-1}$ genommen und die zweite Lösung $180° - \gamma$ übersehen.
  • Für einen stumpfen Winkel wird der Sinussatz benutzt – der Taschenrechner liefert dann den spitzen Winkel. Sicherer: den größten Winkel mit dem Kosinussatz bestimmen.
  • Der Taschenrechner steht im Bogenmaß.