Satz des Pythagoras

Worum geht es?

In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten am rechten Winkel Katheten ( $a$ und $b$ ), die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse ( $c$ ). Sie ist immer die längste Seite.

Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats: $a^2 + b^2 = c^2$

Damit kann man eine fehlende Seite berechnen:

c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad a = \sqrt{c^2 - b^2}

Umkehrung: Gilt in einem Dreieck $a^2 + b^2 = c^2$ , dann ist es rechtwinklig (mit dem rechten Winkel gegenüber von $c$ ).

Puzzle-Beweis

In ein Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$ legt man vier gleiche rechtwinklige Dreiecke.

In der ersten Anordnung bleibt in der Mitte ein Quadrat mit der Seitenlänge $c$ frei: Fläche $c^2$ .
Schiebt man die Dreiecke um, bleiben zwei Quadrate frei: Fläche $a^2 + b^2$ .

Das große Quadrat und die vier Dreiecke sind dieselben – also muss die freie Fläche gleich groß sein: $c^2 = a^2 + b^2$ .

Ausprobieren

Ziehe die beiden farbigen Eckpunkte und zähle die Kästchen in den Quadraten. Beim 3-4-5-Dreieck geht das genau. Gilt $a^2 + b^2 = c^2$ auch beim gleichschenkligen Dreieck? Gleichschenklig
Wechsle zum Puzzle-Beweis und lass die Dreiecke umlegen. Welche Flächen bleiben gleich? Puzzle-Beweis
Probiere den Puzzle-Beweis mit einem flachen Dreieck. Funktioniert er immer noch? Flaches Dreieck

Aufgaben

Aufgabe 1: Hypotenuse berechnen

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind $a = 1{,}5\,\text{cm}$ und $b = 2\,\text{cm}$ lang. Berechne $c$ .

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$c = \sqrt{1{,}5^2 + 2^2} = \sqrt{2{,}25 + 4} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\,\text{cm}$

In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Kathete berechnen

Die Hypotenuse ist $c = 10\,\text{cm}$ lang, eine Kathete $a = 6\,\text{cm}$ . Wie lang ist $b$ ?

Lösung anzeigen

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}$

Aufgabe 3: Leiter an der Wand (Modellieren)

Eine $5\,\text{m}$ lange Leiter steht mit dem Fuß $1{,}4\,\text{m}$ von einer senkrechten Wand entfernt. In welcher Höhe lehnt sie an der Wand?

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Leiter, Wand und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $5\,\text{m}$ :

$h = \sqrt{5^2 - 1{,}4^2} = \sqrt{25 - 1{,}96} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\,\text{m}$

Aufgabe 4: Rechtwinklig oder nicht?

Prüfe, ob die Dreiecke mit den Seitenlängen $7, 24, 25$ und $5, 6, 8$ rechtwinklig sind.

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$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ – rechtwinklig (Umkehrung des Satzes).
$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$ – nicht rechtwinklig. Weil $61 < 64$ , ist der Winkel gegenüber der längsten Seite sogar stumpf.

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 8/9 (Satz des Pythagoras), anschaulich vorbereitend auch früher. Das Kästchenzählen in der Quadrat-Ansicht funktioniert besonders gut bei ganzzahligen Tripeln wie 3-4-5.
Beweis: Der Puzzle-Beweis kommt ohne Rechnung aus. Anschließend kann man ihn algebraisch nachrechnen: $(a + b)^2 = c^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ab$ liefert mit der 1. binomischen Formel $a^2 + b^2 = c^2$ .
Häufige Stolpersteine:
- Der Satz wird auf nicht rechtwinklige Dreiecke angewendet.
- $c$ wird mit irgendeiner Seite gleichgesetzt statt mit der Seite gegenüber dem rechten Winkel.
- $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ – mit Zahlen prüfen lassen ( $\sqrt{9 + 16} = 5 \neq 7$ ).