Pyramide, Kegel und Kugel

Worum geht es?

Pyramide, Kegel und Kugel sind Körper, bei denen man Volumen und Oberfläche nicht einfach „Länge mal Breite mal Höhe“ rechnen kann. Die Simulation zeigt, woher die Formeln kommen: Du kannst den Körper drehen, Wasser umschütten und das Netz abwickeln.

Bausteine

• Höhe $h$: Abstand der Spitze von der Grundfläche (senkrecht).
• Seitenhöhe $h_a$ (Pyramide): Höhe einer Seitenfläche, vom Grundkantenmittelpunkt zur Spitze.
• Mantellinie $s$ (Kegel) bzw. Seitenkante $s$ (Pyramide): Strecke von der Spitze zum Rand der Grundfläche.
• Radius $r$: bei Kegel und Kugel der Abstand zum Mittelpunkt.

Diese Strecken hängen über rechtwinklige Dreiecke zusammen (Satz des Pythagoras). Bei der quadratischen Pyramide mit der Diagonale $d = a\sqrt{2}$ der Grundfläche gilt

Beim Kegel gilt für die Mantellinie $s^2 = h^2 + r^2$. Achtung: Die Seitenhöhe $h_a$ und die Seitenkante $s$ sind verschiedene Strecken. $h_a$ trifft die Grundkante in der Mitte und senkrecht, $s$ endet in einer Ecke.

Pyramide

Mit Grundfläche $G$ und Höhe $h$ gilt

Bei der quadratischen Pyramide ist $G = a^2$ und $M = 4 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$. Das Wasser aus drei Pyramiden füllt genau das Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Kegel

Der Mantel lässt sich als Kreissektor mit Radius $s$ und Bogenlänge $2\pi r$ abwickeln. Sein Winkel ist $\alpha = 360^\circ \cdot \tfrac{r}{s}$.

Kugel

• Archimedes: Zylinder (Höhe $r$, Radius $r$) = Kegel + Halbkugel. Der Kegel hat $\tfrac{1}{3}\pi r^3$, der Zylinder $\pi r^3$, also bleibt für die Halbkugel $\tfrac{2}{3}\pi r^3$ und für die ganze Kugel $\tfrac{4}{3}\pi r^3$.
• Aus Pyramiden: Zerlegt man die Kugel in viele Pyramiden mit Höhe $r$, ist $V = \tfrac{1}{3} \cdot O \cdot r$. Daraus folgt $O = 3V : r = 4\pi r^2$.

Ausprobieren

1. Wähle die quadratische Pyramide und schalte zwischen den Hilfsdreiecken um. Welche Strecke ist immer die längste? Pyramide laden
2. Schütte die Pyramide dreimal um. Wie viel vom Prisma füllt eine Pyramide? Umschütten
3. Probiere dasselbe mit dem Kegel. Was ändert sich, wenn du $r$ oder $h$ änderst? Kegel umschütten
4. Wickle den Kegelmantel ab. Verändere $h$ und beobachte den Winkel $\alpha$. Kegelmantel
5. Schütte nach Archimedes: Kegel, dann Halbkugel. Archimedes
6. Zerlege die Kugel in Pyramiden und dreh sie. Kugel aus Pyramiden

Aufgaben

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante $a = 4\,\text{cm}$ und die Höhe $h = 5\,\text{cm}$. Berechne Seitenhöhe, Volumen, Mantelfläche und Oberfläche.

Ein Kegel hat den Radius $r = 3\,\text{cm}$ und die Höhe $h = 4\,\text{cm}$. Bestimme $s$, $V$, $M$ und $O$.

Eine Kugel hat den Radius $r = 2{,}5\,\text{cm}$. Berechne Volumen und Oberfläche. Wie viel Prozent des umgebenden Zylinders (Höhe $2r$) füllt die Kugel?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 9/10, Körperberechnung. Geeignet als Einstieg (Umschüttversuch), zur Übung (Pythagoras im Körper) und zur Vertiefung (Archimedes).
• Modell: Die Pyramide hat ein regelmäßiges $n$-Eck als Grundfläche, die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt. Beim Umschütten wird das Wasser exakt nach dem Volumen berechnet, gezeichnet ist es nur angenähert.
• Typische Fehler:
  • Der Faktor $\tfrac{1}{3}$ wird vergessen – richtig: Pyramide und Kegel füllen nur ein Drittel.
  • $r$ und $d$ werden verwechselt – in den Formeln steht der Radius.
  • Höhe $h$ und Seitenhöhe $h_a$ bzw. Mantellinie $s$ werden verwechselt – $s$ ist immer länger als $h$.