Volumen von Quadern mit Einheitswürfeln

Worum geht es?

Das Volumen (der Rauminhalt) eines Körpers gibt an, wie viele Einheitswürfel hineinpassen. Ein Einheitswürfel mit der Kantenlänge $1\,\text{cm}$ hat das Volumen $1\,\text{cm}^3$ (ein Kubikzentimeter).

Beim Quader muss man die Würfel nicht einzeln zählen:

• Eine Reihe entlang der Länge $a$ besteht aus $a$ Würfeln.
• Eine Schicht auf dem Boden besteht aus $b$ solchen Reihen, also aus $a \cdot b$ Würfeln.
• Der Quader hat $c$ Schichten übereinander.

Beispiel: Ein Quader mit $a = 5\,\text{cm}$, $b = 3\,\text{cm}$ und $c = 4\,\text{cm}$ hat das Volumen $V = 5 \cdot 3 \cdot 4\,\text{cm}^3 = 60\,\text{cm}^3$. Da die Grundfläche $G = a \cdot b$ ist, gilt auch $V = G \cdot c$.

Volumeneinheiten: Ein Würfel mit $1\,\text{dm} = 10\,\text{cm}$ Kantenlänge enthält $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ Zentimeterwürfel. Deshalb ist die Umrechnungszahl bei Volumeneinheiten $1000$:

Für Flüssigkeiten verwendet man Liter: $1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3$ und $1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3$.

Ausprobieren

1. Drücke Füllen und zähle mit: Erst kommt eine Reihe Würfel für Würfel, dann ganze Reihen, dann ganze Schichten.
2. Ziehe an den markierten Ecken des Glaskastens, um Länge, Breite und Höhe zu ändern. Wie ändert sich die Zählhilfe?
3. Verdopple die Höhe $c$. Was passiert mit dem Volumen? Verdopple dann auch die Länge $a$.
4. Ein Liter: Fülle einen Würfel mit $10\,\text{cm}$ Kantenlänge. 1 Liter = 1000 cm³
5. Vergleiche einen flachen und einen hohen Quader. Nur eine Schicht · Hoher Turm

Aufgaben

Aufgabe 1: Zählen mit System

Wie viele Einheitswürfel passen in einen Quader mit $a = 6\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$ und $c = 3\,\text{cm}$? Beschreibe, wie du zählst. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Gleiches Volumen, andere Form

Finde möglichst viele verschiedene Quader aus genau $24$ Einheitswürfeln. Die Kantenlängen sollen ganze Zahlen bis $10$ sein; gedrehte Quader zählen nicht als neu.

Aufgabe 3: Höhe verdoppeln

Ein Quader hat das Volumen $60\,\text{cm}^3$. Wie groß ist das Volumen, wenn man (a) die Höhe verdoppelt, (b) Länge und Höhe verdoppelt, (c) alle drei Kanten verdoppelt?

Aufgabe 4: Das Aquarium

Ein Aquarium ist innen $60\,\text{cm}$ lang, $30\,\text{cm}$ breit und $40\,\text{cm}$ hoch. Wie viele Liter Wasser passen hinein? Tipp: Rechne in Dezimetern. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Einheiten umrechnen

Gib in der jeweils anderen Einheit an: (a) $3\,\text{dm}^3$ in $\text{cm}^3$, (b) $2500\,\text{cm}^3$ in Liter, (c) $0{,}5\,\text{m}^3$ in Liter.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 5/6 (Volumen): Volumen des Quaders über Einheitswürfel, Volumeneinheiten einschließlich Liter.
• Didaktischer Kern: Die Formel $V = a \cdot b \cdot c$ entsteht aus dem strukturierten Zählen (Reihe → Schicht → Schichten). Die Zählhilfe lässt sich ausschalten (count=0), damit Schülerinnen und Schüler die Struktur selbst beschreiben.
• Häufige Stolpersteine:
  • Volumen und Oberfläche werden verwechselt („außen zählen“ statt „innen füllen“).
  • Die Umrechnungszahl 1000 wird mit 100 (Flächeneinheiten) oder 10 (Längeneinheiten) verwechselt. Der Würfel mit $10\,\text{cm}$ Kante zeigt anschaulich, warum $1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3$ ist.
  • Beim Verdoppeln aller Kanten wird ein doppeltes statt eines achtfachen Volumens erwartet.
• Bedienung: Die Kanten lassen sich auch direkt an den markierten Ecken ziehen; „Füllstand“ springt mit Animation zu leer, einer Reihe, einer Schicht oder voll.