Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg

Worum geht es?

Oft kennt man nicht eine Größe selbst, sondern wie schnell sie sich ändert: die Geschwindigkeit eines Autos, die Zuflussrate in einen Tank. Wie groß ist dann die Gesamtänderung?

Ist die Rate konstant, rechnet man „Rate mal Zeit“: $20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 30\,\text{s} = 600\,\text{m}$ – das ist die Fläche eines Rechtecks unter dem Graphen. Auch die Einheit passt: $\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{s} = \text{m}$ bzw. $\tfrac{\text{L}}{\text{min}} \cdot \text{min} = \text{L}$ . Ändert sich die Rate, zerlegt man die Zeit in $n$ Streifen der Breite $\Delta t$ und addiert $r(t_i) \cdot \Delta t$ . Die Stelle $t_i$ liegt am linken Rand, am rechten Rand oder in der Mitte des Streifens. Für $n \to \infty$ wird daraus das Integral:

$B(t) = B(0) + \int_0^t r(u)\,du.$

Die Fläche unter dem Graphen der Änderungsrate ist die Gesamtänderung des Bestands. Flächen unterhalb der Zeitachse (Abfluss, Rückwärtsfahrt) zählen negativ – der Bestand nimmt ab. Wer alle Flächen positiv zählt, berechnet $\int_0^t |r(u)|\,du$ : bei einer Fahrt den insgesamt zurückgelegten Weg (Wegzähler), beim Tank die insgesamt geflossene Wassermenge.

Rate und Bestand hängen zusammen: Die Steigung von $B$ ist die Rate, $B'(t) = r(t)$ . Wechselt $r$ das Vorzeichen von $+$ nach $-$ , hat der Bestand ein Maximum, von $-$ nach $+$ ein Minimum.

Ausprobieren

Autofahrt: Drücke „Ablauf abspielen“. Wann wächst die Fläche am schnellsten – und wann ist der Weg-Graph am steilsten?
Rechtecke: Drücke „Rechtecke stapeln“: Aus jedem Rechteck oben wird eine Stufe unten. Drücke dann mehrmals „Streifen verdoppeln“ und beobachte die Karte „Fehler beim Verdoppeln“.
Links, rechts, Mitte: Stelle die Höhe der Rechtecke auf „rechter Rand“ und „Mitte“. Warum ist die Mittelsumme hier exakt?
Wassertank: Ab wann fließt Wasser ab? Wann ist der Tank am vollsten – und was macht die Rate dort?
Vor und zurück: Vergleiche Position und Wegzähler. Wo sieht man im Diagramm den Unterschied?
Eigene Zuflussrate: Ziehe die fünf Punkte. Erzeuge eine Rate, bei der der Tank am Ende genauso voll ist wie am Anfang.
Radfahrt: Warum steigt der Weg immer, obwohl die Geschwindigkeit schwankt?

Aufgaben

Aufgabe 1: Weg nach 25 Sekunden

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Das Auto beschleunigt $10\,\text{s}$ gleichmäßig auf $20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ und fährt dann konstant. Wie weit ist es nach $25\,\text{s}$ gefahren?

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Dreieck bis $10\,\text{s}$ : $\frac{1}{2} \cdot 10\,\text{s} \cdot 20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 100\,\text{m}$ ; dann $15\,\text{s} \cdot 20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 300\,\text{m}$ . Zusammen $s(25) = 400\,\text{m}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Drei Rechtecksummen

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Schätze den Weg in den ersten $10\,\text{s}$ mit $2$ Streifen ( $\Delta t = 5\,\text{s}$ ): einmal mit der Höhe am linken Rand, am rechten Rand und in der Mitte.

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Es gilt $v(t) = 2t$ . Links: $5 \cdot (0 + 10) = 50\,\text{m}$ , rechts: $5 \cdot (10 + 20) = 150\,\text{m}$ , Mitte: $5 \cdot (5 + 15) = 100\,\text{m}$ . Exakt sind es $100\,\text{m}$ : Die Mittelsumme trifft genau, weil die Rate eine Gerade ist (die Dreiecke oberhalb und unterhalb gleichen sich aus). Links und rechts schließen den exakten Wert ein, weil $v$ wächst. In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Wassertank

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Die Zuflussrate ist $r(t) = 4 - 0{,}2t$ (in L/min), zu Beginn sind $30\,\text{L}$ im Tank. Wie viel Wasser ist nach $30$ Minuten im Tank? Wann ist er am vollsten?

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$V(30) = 30 + \int_0^{30}(4 - 0{,}2u)\,du = 30 + \left[4u - 0{,}1u^2\right]_0^{30} = 30 + 30 = 60\,\text{L}$ . Am vollsten, wo $r$ von $+$ nach $-$ wechselt: $r(t) = 0 \iff t = 20$ , also $V(20) = 30 + 40 = 70\,\text{L}$ . Die Fläche besteht aus $+40\,\text{L}$ (Zufluss) und $-10\,\text{L}$ (Abfluss). In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Vor und zurück

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Ein Auto fährt $20\,\text{s}$ vorwärts (anfahren in $5\,\text{s}$ auf $4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ , $10\,\text{s}$ konstant, $5\,\text{s}$ bremsen) und dann $20\,\text{s}$ rückwärts (genauso, aber mit höchstens $2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ). Wo steht es nach $40\,\text{s}$ , und wie viele Meter zeigt der Wegzähler?

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Vorwärts: Trapez $10 + 40 + 10 = 60\,\text{m}$ . Rückwärts: $5 + 20 + 5 = 30\,\text{m}$ , also Fläche $-30\,\text{m}$ . Gesamtänderung $\int_0^{40} v\,dt = 60 - 30 = 30\,\text{m}$ : Das Auto steht $30\,\text{m}$ vor dem Start. Der Wegzähler zeigt $\int_0^{40} |v|\,dt = 60 + 30 = 90\,\text{m}$ . Am weitesten entfernt ist es bei $t = 20\,\text{s}$ ( $60\,\text{m}$ ). In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Fehler halbieren

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Für den Tank bis $t = 20$ (exakt $40\,\text{L}$ Zufluss) ergibt die linke Summe mit $4$ Streifen $50\,\text{L}$ . Wie groß ist der Fehler mit $8$ und mit $16$ Streifen?

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Fehler $10\,\text{L}$ , dann $5\,\text{L}$ , dann $2{,}5\,\text{L}$ . Bei einer geradlinigen Rate halbiert sich der Fehler genau: Jeder Streifen enthält ein Dreieck zu viel. Halbiert man $\Delta t$ , haben diese Dreiecke halbe Breite und halbe Höhe, also ein Viertel der Fläche – es gibt aber doppelt so viele. In der Simulation zeigen

Aufgabe 6: Maximum und Minimum

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Die Zuflussrate verläuft stückweise linear (als Streckenzug) durch $(0 \mid 2)$ , $(10 \mid 4)$ , $(20 \mid 0)$ , $(30 \mid -3)$ und $(40 \mid 1)$ (Zeit in min, Rate in L/min); am Anfang sind $30\,\text{L}$ im Tank. Wann ist der Tank am vollsten, wann zwischendurch am leersten? Wie viel ist am Ende drin?

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Trapez- und Dreiecksflächen: $0$ – $10$ : $30\,\text{L}$ , $10$ – $20$ : $20\,\text{L}$ , $20$ – $30$ : $-15\,\text{L}$ . Zwischen $30$ und $40$ wechselt $r$ bei $t = 37{,}5$ von $-$ nach $+$ : $-11{,}25\,\text{L}$ und $+1{,}25\,\text{L}$ . Maximum bei $t = 20$ : $V = 80\,\text{L}$ ; Minimum bei $t = 37{,}5$ : $V = 53{,}75\,\text{L}$ ; am Ende $V(40) = 55\,\text{L}$ . In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Oberstufe, Integralrechnung: Rekonstruktion eines Bestands aus der Änderungsrate, Flächeninhalt und bestimmtes Integral. Geeignet als Einstieg (Fläche = Gesamtänderung mit der laufenden Zeit), zum Üben (verdeckte Werte) und zur Vertiefung (Fehlerordnung der Rechtecksummen).
Vom Rechteck zum Integral: Mit „Rechtecke stapeln“ und „Streifen verdoppeln“ lässt sich der Grenzübergang $n \to \infty$ vorführen; die Fehler-Karte macht ihn messbar.
Einheiten als Kontrolle: „Rate mal Zeit“ ergibt immer die Einheit des Bestands – eine schöne Probe für eigene Rechnungen.
Physik-Bezug: $s(t)$ aus $v(t)$ wie im $t$ - $v$ -Diagramm der Mechanik; „vor und zurück“ trennt Ortsänderung und zurückgelegten Weg.
Partnerarbeit: Eine Person zieht bei der eigenen Rate fünf Punkte und nennt $V(0)$ , die andere skizziert den Bestand – dann aufdecken.
Häufige Stolpersteine:
- Der Funktionswert der Rate wird als Bestand gelesen („20 m/s, also 20 m“).
- Negative Raten werden als positive Flächen gezählt – oder der zurückgelegte Weg mit der Gesamtänderung verwechselt.
- Das Maximum des Bestands wird beim Maximum der Rate gesucht statt bei ihrem Vorzeichenwechsel.
- Der Anfangsbestand $B(0)$ wird vergessen.