Lineare Funktion

Worum geht es?

Eine lineare Funktion hat die Funktionsgleichung

Ihr Graph ist immer eine Gerade.

• Der y-Achsenabschnitt $t$ gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet: im Punkt $(0 \mid t)$.
• Die Steigung $m$ gibt an, wie steil die Gerade ist: Geht man 1 nach rechts, so geht es $m$ nach oben – bei negativem $m$ nach unten. Genau das zeigt das Steigungsdreieck.

Kennt man zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$ der Geraden, berechnet man die Steigung so:

Die Nullstelle ist die Stelle, an der die Gerade die x-Achse schneidet. Man findet sie, indem man $f(x) = 0$ setzt: $x_0 = -\frac{t}{m}$ (für $m \neq 0$). Bei $m = 0$ verläuft die Gerade waagrecht: Für $t \neq 0$ gibt es keine Nullstelle, für $t = 0$ liegt sie auf der x-Achse.

Eine senkrechte Gerade ist kein Graph einer Funktion, denn zu einem $x$-Wert gehören dort unendlich viele $y$-Werte. Deshalb kann man sie in der Simulation nicht einstellen.

Ausprobieren

1. Verändere nur $t$. Was passiert mit der Geraden – und was bleibt gleich? Beispiel laden
2. Verändere nur $m$. Beobachte das Steigungsdreieck. Was passiert bei $m = 0$? Beispiel laden
3. Ziehe die markierten Punkte direkt im Koordinatensystem: den Punkt auf der y-Achse und die Spitze des Steigungsdreiecks.
4. Schalte die zweite Gerade $g$ ein. Wann schneiden sich zwei Geraden nicht? Parallele Geraden

Aufgaben

Aufgabe 1: Funktionsgleichung ablesen

Aufgabe laden Lies die Steigung und den y-Achsenabschnitt am Graphen ab und gib die Funktionsgleichung an. Die Ergebnisse rechts sind verdeckt – decke sie erst zur Kontrolle auf.

Aufgabe 2: Gerade durch zwei Punkte

Bestimme die Gleichung der Geraden durch $A(-2 \mid -1)$ und $B(2 \mid 5)$. Stelle die Gerade anschließend in der Simulation ein und überprüfe, ob sie durch beide Punkte geht.

Aufgabe 3: Nullstelle berechnen

Berechne die Nullstelle von $f(x) = 0{,}5x - 2$ und überprüfe sie in der Simulation.

Aufgabe 4: Senkrechte Geraden

Stelle $f(x) = 2x - 1$ ein und schalte die zweite Gerade ein. Finde eine Gerade $g$, die $f$ senkrecht schneidet. Was fällt dir an den beiden Steigungen auf?

Aufgabe 5: Handytarif (Modellieren)

Ein Handytarif kostet 5 € Grundgebühr im Monat und 2 € pro verbrauchtem Gigabyte.

1. Stelle die Funktionsgleichung für die monatlichen Kosten auf ($x$: Gigabyte, $f(x)$: Kosten in €).
2. Wie teuer ist ein Monat mit 3 GB?
3. Ein zweiter Tarif kostet 8 € Grundgebühr und 1 € pro GB. Ab wie vielen GB ist er günstiger?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Einführung in Klasse 7/8 oder Wiederholung vor quadratischen Funktionen. Am Beamer bewährt: Die Klasse sagt vorher, was passiert, bevor ein Regler bewegt wird.
• Bezeichnung: Die Simulation schreibt $f(x) = mx + t$. Verwendet Ihr Lehrwerk $b$ oder $n$ für den y-Achsenabschnitt, weisen Sie kurz darauf hin.
• Häufige Stolpersteine:
  • Steigung und y-Achsenabschnitt werden verwechselt.
  • Bei negativer Steigung wird das Steigungsdreieck „nach oben“ gezeichnet.
  • Die konstante Funktion ($m = 0$) wird nicht als lineare Funktion erkannt.
  • Ein flacher wirkender Graph wird mit kleinerer Steigung gleichgesetzt, obwohl nur die Achsen anders skaliert sind. Die Simulation verwendet gleich lange Einheiten auf beiden Achsen.
• Aufgabenmodus: Über Teilen → Ergebnisse verdecken entsteht ein Link oder QR-Code, bei dem Funktionsgleichung, Nullstelle und Schnittpunkt verdeckt sind – ideal für Ableseübungen. Mit Regler sperren wird die Einstellung nicht versehentlich verändert.
• Differenzierung: Schnellere Lernende untersuchen mit der zweiten Geraden parallele und senkrechte Geraden oder lösen lineare Gleichungssysteme grafisch.