Kreisumfang, Kreisfläche und die Zahl π

Worum geht es?

Bei jedem Kreis ist der Umfang ein festes Vielfaches des Durchmessers. Dieses Verhältnis heißt Kreiszahl $\pi$ :

\pi = \frac{U}{d} \approx 3{,}14159\ldots

Daraus folgen die beiden wichtigsten Kreisformeln:

U = \pi \cdot d = 2\pi \cdot r \qquad A = \pi \cdot r^2

Umfang: Rollt man ein Rad einmal ab, ist die Strecke etwas mehr als drei Durchmesser lang.

Fläche: Zerschneidet man den Kreis in viele Sektoren und legt sie abwechselnd nebeneinander, entsteht fast ein Rechteck. Seine Höhe ist $r$ , seine Breite der halbe Umfang $\pi r$ . Also ist $A = \pi r \cdot r = \pi r^2$ .

Archimedes (um 250 v. Chr.) schloss den Kreis zwischen ein inneres und ein äußeres Vieleck ein. Mit dem 96-Eck fand er $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$ , also $3{,}1408 < \pi < 3{,}1429$ .

$\pi$ ist eine irrationale Zahl: Ihre Dezimalstellen enden nie und wiederholen sich nicht.

Ausprobieren

Drücke Abrollen und vergleiche den abgerollten Umfang mit den Durchmessern darunter.
Wähle Fläche und lege die Sektoren um. Was passiert mit mehr Sektoren? 48 Sektoren
Wähle Archimedes und verdopple die Eckenzahl mehrmals. Wie nah kommen die Schranken an π heran? Sechseck

Aufgaben

Aufgabe 1: Fahrradreifen

Ein Fahrradreifen hat einen Durchmesser von $70\,\text{cm}$ . Wie weit kommt man mit einer Umdrehung? Wie viele Umdrehungen braucht man für $1\,\text{km}$ ?

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$U = \pi \cdot 70\,\text{cm} \approx 219{,}9\,\text{cm} \approx 2{,}2\,\text{m}$ . Für $1000\,\text{m}$ braucht man $1000\,\text{m} : 2{,}199\,\text{m} \approx 454{,}7$ , also etwa $455$ Umdrehungen.

Aufgabe 2: Eine große oder zwei kleine Pizzen?

Ist eine Pizza mit $30\,\text{cm}$ Durchmesser größer als zwei Pizzen mit je $20\,\text{cm}$ ?

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Große Pizza: $A = \pi \cdot 15^2 \approx 707\,\text{cm}^2$ . Zwei kleine: $2 \cdot \pi \cdot 10^2 \approx 628\,\text{cm}^2$ . Die große Pizza ist größer – die Fläche wächst mit dem Quadrat des Radius.

Aufgabe 3: Sektoren umlegen

Warum wird die umgelegte Figur mit mehr Sektoren immer mehr zu einem Rechteck? Welche Seitenlängen hat dieses Rechteck? 12 Sektoren · 48 Sektoren

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Je schmaler die Sektoren, desto gerader werden die Bögen an Ober- und Unterkante und desto senkrechter die Seiten. Die Höhe ist der Radius $r$ ; oben und unten liegt jeweils der halbe Umfang, also die Breite $\pi r$ . Damit gilt $A = \pi r \cdot r = \pi r^2$ .

Aufgabe 4: Wie Archimedes

Beim Sechseck gilt $3 < \pi < 3{,}4641$ (die Simulation zeigt diese Werte). Erkläre, warum das einbeschriebene Sechseck genau den Umfang $3d$ hat.

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Das einbeschriebene Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge $r$ . Sein Umfang ist $6r = 3d$ . Jeder Kreisbogen zwischen zwei Ecken ist länger als die Sechseckseite darunter. Also ist der Kreisumfang größer als $3d$ , und es gilt $\pi > 3$ . Sechseck zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 8/9 (Kreis und Zylinder: Kreisumfang, Kreisfläche, Näherungen für π).
Drei Zugänge: Abrollen (Umfang), Umlegen (Fläche) und Archimedes (Näherung). Alle drei Animationen werden über den Knopf unter der Bühne gestartet.
Häufige Stolpersteine:
- Umfang und Fläche werden verwechselt; $\pi r^2$ und $2\pi r$ werden vertauscht.
- „π ist genau 3,14.“