Parallelogramm, Dreieck und Trapez durch Zerlegen und Ergänzen

Worum geht es?

Den Flächeninhalt eines Rechtecks kennst du schon: Länge mal Breite. Parallelogramm, Dreieck und Trapez lassen sich durch Zerlegen, Verschieben und Ergänzen auf das Rechteck zurückführen. Dabei ändert sich der Flächeninhalt nicht – es wird nichts weggenommen und nichts hinzugefügt.

Wichtig sind immer zwei Größen: die Grundseite $g$ und die zugehörige Höhe $h$ . Die Höhe ist der Abstand der gegenüberliegenden Ecke (bzw. Seite) von der Grundseite. Sie steht senkrecht auf der Grundseite. Liegt ihr Fußpunkt außerhalb, verlängert man die Grundseite.

Parallelogramm: Schneidet man entlang der Höhe ein Dreieck ab und schiebt es auf die andere Seite, entsteht ein Rechteck mit der Länge $g$ und der Breite $h$ :

A_{\text{Parallelogramm}} = g \cdot h

Ist das Parallelogramm stark geneigt, reicht ein Schnitt nicht – dann zerlegt man es in mehrere Streifen.

Dreieck: Eine Kopie des Dreiecks wird um $180^\circ$ um den Mittelpunkt $M$ einer Seite gedreht. Beide zusammen ergänzen sich zu einem Parallelogramm mit derselben Grundseite und derselben Höhe. Das Dreieck ist die Hälfte davon:

A_{\text{Dreieck}} = \frac{g \cdot h}{2} = g \cdot h : 2

Trapez mit den parallelen Grundseiten $a$ und $c$ : Die gedrehte Kopie ergänzt es zu einem Parallelogramm mit der Grundseite $a + c$ . Oder man zerlegt es entlang einer Diagonalen in zwei Dreiecke mit derselben Höhe $h$ :

A_{\text{Trapez}} = \frac{(a + c) \cdot h}{2} = \frac{a \cdot h}{2} + \frac{c \cdot h}{2}

Beispiel: $a = 7\,\text{cm}$ , $c = 3\,\text{cm}$ , $h = 4\,\text{cm}$ ergibt $A = (7 + 3) \cdot 4 : 2\,\text{cm}^2 = 20\,\text{cm}^2$ .

In der Simulation ist ein Kästchen $1\,\text{cm}$ breit, also $1\,\text{cm}^2$ groß. Mit „Kästchen zählen“ kannst du jedes Ergebnis nachprüfen.

Ausprobieren

Drücke bei diesem Parallelogramm „Zerlegen und verschieben“. Welches Teil wandert wohin? Warum passt es genau?
Lass danach die Kästchen zählen. Stimmt die Anzahl mit $g \cdot h$ überein?
Zerlege ein stark geneigtes Parallelogramm. Wo liegt der Fußpunkt der Höhe? In wie viele Teile wird es zerlegt?
Verdopple das Dreieck und lege das Parallelogramm danach zum Rechteck um. Lass die Kästchen zählen: Welche gehören zum Dreieck, welche zur Kopie – und was ist mit den zerschnittenen?
Drücke beim Dreieck „Spitze verschieben“ oder ziehe die Spitze $C$ selbst. Was ändert sich an der Form, was am Flächeninhalt?
Vergleiche beim Trapez beide Wege: Kopie drehen und in zwei Dreiecke zerlegen. Führen sie zum selben Ergebnis?
Stelle beim Trapez c = 0 cm und c = a ein. Welche Figuren entstehen, und was wird aus der Formel?

Aufgaben

Aufgabe 1: Parallelogramm

Aufgabe laden Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms. Zerlege es dann zur Kontrolle.

Lösung anzeigen

$g = 5\,\text{cm}$ , $h = 3\,\text{cm}$ , also $A = 5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2$ . Das Rechteck nach dem Verschieben besteht aus $15$ Kästchen. Lösung zeigen

Aufgabe 2: Dreieck

Aufgabe laden Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Lösung anzeigen

$A = 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} : 2 = 40\,\text{cm}^2 : 2 = 20\,\text{cm}^2$ . Zwei solche Dreiecke ergeben ein Parallelogramm mit $40\,\text{cm}^2$ . Lösung zeigen

Aufgabe 3: Ein stumpfwinkliges Dreieck

Aufgabe laden Das Dreieck hat die Ecken $A(0 \mid 0)$ , $B(4 \mid 0)$ und $C(7 \mid 3)$ . Mia rechnet $7 \cdot 3 : 2 = 10{,}5$ . Was hat sie falsch gemacht?

Lösung anzeigen

Die Grundseite ist $[AB]$ mit $g = 4\,\text{cm}$ , nicht $7\,\text{cm}$ . Die Höhe ist $h = 3\,\text{cm}$ , ihr Fußpunkt $(7 \mid 0)$ liegt außerhalb der Grundseite. Also $A = 4 \cdot 3 : 2\,\text{cm}^2 = 6\,\text{cm}^2$ . Lösung zeigen

Aufgabe 4: Trapez auf zwei Wegen

Aufgabe laden Berechne den Flächeninhalt mit der Trapezformel und durch Zerlegen in zwei Dreiecke.

Lösung anzeigen

Formel: $A = (9 + 5) \cdot 4 : 2\,\text{cm}^2 = 28\,\text{cm}^2$ . Zwei Dreiecke: $9 \cdot 4 : 2 + 5 \cdot 4 : 2 = 18 + 10 = 28$ , also $28\,\text{cm}^2$ . Lösung zeigen

Aufgabe 5: Gleich groß, verschieden geformt

Finde Parallelogramme mit ganzzahliger Grundseite und Höhe (in cm) und dem Flächeninhalt $24\,\text{cm}^2$ (Grundseite höchstens $10\,\text{cm}$ , Höhe höchstens $8\,\text{cm}$ ). Wie viele verschiedene Parallelogramme gibt es, wenn man auch den Versatz ändern darf?

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$g \cdot h = 24$ mit $g \le 10$ und $h \le 8$ : $g = 3$ , $h = 8$ ; $g = 4$ , $h = 6$ ; $g = 6$ , $h = 4$ ; $g = 8$ , $h = 3$ . Zu jedem Paar gibt es unendlich viele Parallelogramme: Verschiebt man die obere Seite parallel zur Grundseite, bleibt der Flächeninhalt $24\,\text{cm}^2$ . Beispiel zeigen

Aufgabe 6: Rückwärts rechnen

Ein Trapez hat die Grundseiten $a = 8\,\text{cm}$ und $c = 4\,\text{cm}$ und den Flächeninhalt $30\,\text{cm}^2$ . Wie hoch ist es?

Lösung anzeigen

$(8 + 4) \cdot h : 2 = 30$ , also $6 \cdot h = 30$ und $h = 5\,\text{cm}$ . Lösung zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 6, Flächeninhalt: Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck und Trapez durch Zerlegen und Ergänzen herleiten. Die Zuordnung bitte am Lehrplan prüfen. Gut als Einstieg am Whiteboard: erst vermuten lassen, dann zerlegen.
Ablauf: Zum Parallelogramm passt die Reihenfolge Parallelogramm → Rechteck, danach Dreieck → Parallelogramm und zuletzt das Trapez mit zwei Wegen. Mit „Flächeninhalt sofort zeigen“ aus erscheint das Ergebnis erst nach dem Zerlegen oder Zählen.
Scherung: „Spitze verschieben“ macht sichtbar, dass nur Grundseite und Höhe zählen. Daraus lässt sich die Frage ableiten, warum die schräge Seite in keiner Formel vorkommt.
Modell: Alle Ecken liegen auf Gitterpunkten, die Grundseite liegt waagerecht. Die Höhe wird von der linken oberen Ecke aus eingezeichnet; beim Trapez ist $h$ der Abstand der beiden parallelen Seiten.
Häufige Stolpersteine:
- Die schräge Seite wird als Höhe genommen – die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.
- Beim Dreieck wird das „ $: 2$ “ vergessen; das verdoppelte Dreieck erinnert daran.
- Bei stumpfwinkligen Dreiecken oder stark geneigten Parallelogrammen liegt der Fußpunkt außerhalb – die Grundseite muss verlängert werden, ihre Länge bleibt aber $g$ .
- Beim Trapez werden $a$ und $c$ multipliziert statt addiert.