Normalverteilung

Worum geht es?

Viele Messgrößen – Körpergrößen, Abfüllmengen, Messfehler, IQ-Werte – sind näherungsweise normalverteilt. Ihre Werte häufen sich um den Erwartungswert $\mu$; die Standardabweichung $\sigma$ beschreibt, wie stark sie streuen. Man schreibt $X \sim N(\mu;\,\sigma^2)$.

Bei einer stetigen Zufallsgröße hat ein einzelner Wert die Wahrscheinlichkeit $0$: Über einem Punkt liegt keine Fläche, also $P(X = a) = 0$. Man fragt nach Intervallen. Die Wahrscheinlichkeit $P(a \leq X \leq b)$ ist die Fläche unter der Dichtekurve

$\varphi(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

zwischen $a$ und $b$. Die Verteilungsfunktion $F(x) = P(X \leq x)$ gibt die Fläche links von $x$ an; also ist $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$ und $P(X \geq a) = 1 - F(a)$. Für die Standardnormalverteilung $N(0;\,1)$ heißt sie $\Phi$; nach dem Standardisieren gilt $F(x) = \Phi\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$, zum Beispiel beim IQ $P(X \leq 130) = F(130) = \Phi(2{,}00)$.

Eigenschaften der Glockenkurve: symmetrisch zu $x = \mu$, Hochpunkt bei $\mu$ mit $\varphi(\mu) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ (für $\sigma = 1$ etwa $0{,}3989$), Wendestellen bei $\mu \pm \sigma$, Gesamtfläche $1$. Die Wendetangenten schneiden die $x$-Achse genau bei $\mu \pm 2\sigma$. Halbiert man $\sigma$, wird die Glocke halb so breit und doppelt so hoch.

Sigma-Regeln: $P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68{,}3\,\%$, für $2\sigma$ etwa $95{,}4\,\%$, für $3\sigma$ etwa $99{,}7\,\%$ – für jede Normalverteilung. Standardisieren: Mit $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ wird jede Normalverteilung zur Standardnormalverteilung $N(0;\,1)$. Die Glocke wird um $\mu$ verschoben und mit dem Faktor $\frac{1}{\sigma}$ gestreckt bzw. gestaucht, die markierte Fläche bleibt dabei gleich groß. Deshalb genügt eine einzige Tabelle für $\Phi$. Umkehrung (Quantile): Ist die Wahrscheinlichkeit gegeben und die Grenze gesucht, liest man die $z$-Tabelle rückwärts. Aus $P(X \geq x) = 5\,\%$ folgt $\Phi(z) = 0{,}95$, also $z \approx 1{,}645$ und $x = \mu + z \cdot \sigma$.

Näherung der Binomialverteilung: Für $X \sim B(n;\,p)$ mit $\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ gilt bei großem $\sigma$ die Näherung $P(X \leq k) \approx \Phi\!\left(\frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right)$. Das $+\,0{,}5$ ist die Stetigkeitskorrektur: Der Balken für $k$ reicht von $k - 0{,}5$ bis $k + 0{,}5$. Als Faustregel gilt die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$.

Ausprobieren

1. Standardnormalverteilung: Ziehe die Grenzen $a$ und $b$. Wie ändern sich die Fläche und der Balken $F(b) - F(a)$? (Hier ist $F = \Phi$.) Drücke nacheinander „μ ± σ“, „μ ± 2σ“ und „μ ± 3σ“.
2. Verändere $\sigma$, während „μ ± σ“ markiert ist. Warum bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich, obwohl die Kurve ganz anders aussieht?
3. Eigenschaften der Glocke: Wo liegen Hochpunkt, Wendestellen und die Nullstellen der Wendetangenten? Stelle dann sehr kleines σ ein: Wie hoch wird die Glocke?
4. Standardisieren: Drücke „Standardisieren“. Beobachte, wie die IQ-Achse zur $z$-Achse wird. Welche Zahlen stehen am Ende über $z = 1$ und $z = 2$?
5. Sonderfall X = a: Warum ist $P(X = 1) = 0$, obwohl die Kurve dort nicht null ist?
6. Umkehrung: Drücke „Grenze suchen“ und ziehe die Grenze. Zwischen welchen Tabellenwerten liegt $0{,}95$?
7. Zwei Abfüllanlagen: Welche Anlage hält den Bereich $495$ bis $505\,\text{ml}$ besser ein? Drücke „Beide mittig einstellen“. Vergleiche mit schmal, aber verschoben.
8. Binomialverteilung nähern: Schalte die Stetigkeitskorrektur aus und an. Ziehe dann in der Stichprobe 1000 Werte auf einmal.

Aufgaben

Aufgabe 1: Standardisieren

a) Berechne $P(X \geq 130)$ und $P(115 \leq X \leq 130)$ beim IQ ($\mu = 100$, $\sigma = 15$). Aufgabe laden b) Eine Anlage füllt Flaschen mit $\mu = 500\,\text{ml}$ und $\sigma = 4\,\text{ml}$. Wie wahrscheinlich sind $497$ bis $503\,\text{ml}$? Aufgabe laden

Aufgabe 2: Die Grenze ist gesucht

a) Welcher IQ wird nur von $5\,\%$ der Menschen übertroffen? b) In welchem Bereich symmetrisch um $500\,\text{ml}$ liegen $95\,\%$ der Füllmengen? Aufgabe laden

Aufgabe 3: Zwei Anlagen, eine Toleranz

Anlage A: $\mu = 500\,\text{ml}$, $\sigma = 4\,\text{ml}$. Anlage B: $\mu = 502\,\text{ml}$, $\sigma = 2{,}5\,\text{ml}$. Erlaubt sind $495$ bis $505\,\text{ml}$. Welche Anlage ist besser? Was ändert sich, wenn man B auf $500\,\text{ml}$ einstellt? Aufgabe laden

Aufgabe 4: Binomialverteilung nähern

Eine Münze wird 100-mal geworfen. Berechne $P(X \leq 55)$ für die Anzahl $X$ der Wappen näherungsweise. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Laplace-Bedingung (Knobelaufgabe)

Bei $p = 0{,}1$: Ab welcher Anzahl $n$ ist die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt? Ist sie für $n = 100$ erfüllt? Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Oberstufe (stetige Zufallsgrößen, Normalverteilung). Ob Quantile und die Näherung der Binomialverteilung im Unterricht gerechnet werden, bitte am Lehrplan prüfen.
• Einstieg über die Fläche: Erst schätzen lassen, welcher Anteil zwischen $a$ und $b$ liegt, dann ziehen und vergleichen. Der Balken im Diagramm der Verteilungsfunktion zeigt, warum man zwei Tabellenwerte subtrahiert.
• Standardisieren sichtbar machen: Die Animation eignet sich, um zu begründen, warum eine einzige $\Phi$-Tabelle für alle Normalverteilungen reicht.
• Tabelle rückwärts und Qualitätskontrolle: Die Ansicht „Umkehrung“ zeigt, wo man in der Tabelle sucht (Vergleich mit dem Taschenrechner). Beim Vergleich zweier Anlagen kann die Klasse vorab argumentieren, ob kleines $\sigma$ oder mittiges $\mu$ wichtiger ist.
• Häufige Stolpersteine:
  • Die Höhe der Dichtekurve wird als Wahrscheinlichkeit gelesen – es zählt die Fläche; $\varphi$ kann sogar größer als $1$ sein.
  • Bei $P(X \geq a)$ wird $1 - F(a)$ vergessen.
  • Beim Standardisieren werden $\mu$ und $\sigma$ vertauscht oder es wird durch $\sigma^2$ geteilt.
  • Bei der Umkehrung wird $\Phi(z) = 0{,}05$ statt $0{,}95$ gesucht.
  • Die Stetigkeitskorrektur wird vergessen oder falsch angewendet ($P(X < k) = P(X \leq k - 1)$).