Vektoren addieren und vervielfachen (3D)

Worum geht es?

Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung, z. B. $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Alle gleich langen, gleich gerichteten Pfeile stellen denselben Vektor dar.

Addition („Spitze an Fuß“): Der Summenpfeil ist die Diagonale des Parallelogramms; gerechnet wird komponentenweise, z. B. $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
Subtraktion: $\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b)$ mit dem Gegenvektor $-\vec b$ .
Vielfaches: $k \cdot \vec a$ ist parallel zu $\vec a$ und $|k|$ -mal so lang; für $k < 0$ kehrt sich die Richtung um.
Linearkombination: Alle $r \cdot \vec a + s \cdot \vec b$ liegen in einer Ebene durch $O$ (wenn $\vec a \nparallel \vec b$ ).
Verbindungsvektor: $\overrightarrow{AB} = \vec b - \vec a$ („Spitze minus Fuß“), Mittelpunkt $M = \tfrac12 (A + B)$ .

Länge und Einheitsvektor: Zweimal Pythagoras – erst $d_{12} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ in der $x_1x_2$ -Ebene, dann mit der Höhe:

|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}, \qquad \left|\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{9} = 3, \qquad \vec v^{\,0} = \frac{1}{|\vec v|} \cdot \vec v = \begin{pmatrix} \frac13 \\ \frac23 \\ \frac23 \end{pmatrix}.

Der Einheitsvektor hat die Länge $1$ und endet auf der Einheitskugel. Der Nullvektor hat keinen.

Schwerpunkt und Teilpunkt: Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist $S = \tfrac13 (A + B + C)$ . Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis $2 : 1$ (von der Ecke aus). Ein Punkt $T = A + t \cdot \overrightarrow{AB}$ teilt die Strecke $[AB]$ im Verhältnis $t : (1 - t)$ ; für $t < 0$ oder $t > 1$ liegt er außerhalb.

Zufallsweg: Jeder Schritt ist einer der sechs Einheitsvektoren $\pm\vec e_1, \pm\vec e_2, \pm\vec e_3$ . Die Summe $\vec s$ zeigt vom Start zum Ziel; sortiert man die Schritte, endet der Weg am selben Punkt (die Reihenfolge beim Addieren ist egal). Im Mittel ist $|\vec s|^2 = n$ , der typische Abstand wächst also nur wie $\sqrt n$ .

Sonderfälle werden angesagt: Nullvektor, parallele Vektoren, flacher Spat, Punkte auf einer Geraden (kein Dreieck), Rückkehr zum Ursprung.

Ausprobieren

Spiele die Animation ab und ziehe die Spitzen von $\vec a$ und $\vec b$ . Ist $\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$ ? Addition
Stelle beim Vervielfachen $k = -1{,}5$ ein. Was passiert mit Richtung und Länge? Vervielfachen
Finden: Ziehe die rote Spitze, bis sie genau auf $\vec c$ zeigt. Ziel in der Ebene · Ziel außerhalb
Spat: Tippe Ecken an. Welcher Vektorzug führt zur Ecke $\vec b + \vec c$ ? Spat
Länge: Finde fünf ganzzahlige Vektoren der Länge $3$ . Danach erscheint die Kugel mit allen Lösungen. Länge 3
Schwerpunkt: Ziehe $A$ , $B$ oder $C$ und beobachte das Verhältnis $2 : 1$ . Lege dann alle drei auf eine Gerade. Schwerpunkt
Teilpunkt: Ziehe $T$ entlang der Geraden $AB$ – auch über $B$ hinaus. Teilpunkt
Zufallsweg: Mache 100 Schritte und sortiere sie dann. Zufallsweg · Vergleiche 500 Wege und tippe einen Balken an. Viele Wege

Aufgaben

Aufgabe 1: Summe, Differenz, Länge

Berechne für $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ die Vektoren $\vec a + \vec b$ , $\vec a - \vec b$ und $|\vec a + \vec b|$ . Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$\vec a + \vec b = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ , $\vec a - \vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ , $|\vec a + \vec b| = \sqrt{27} \approx 5{,}20$ . Zur Kontrolle: $|\vec a + \vec b| = \sqrt{27} \approx 5{,}20 < |\vec a| + |\vec b| = \sqrt{20} + \sqrt{11} \approx 7{,}79$ – die Längen addieren sich nicht. In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Verbindungsvektor und Mittelpunkt

Gegeben sind $A(3 \mid -1 \mid 1)$ und $B(-1 \mid 3 \mid 3)$ . Berechne $\overrightarrow{AB}$ , $\overline{AB}$ und $M$ . Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ , $\overline{AB} = \sqrt{16 + 16 + 4} = 6$ , $M(1 \mid 1 \mid 2)$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Geht es oder nicht?

Lässt sich $\vec c = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ als Linearkombination von $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ schreiben? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

Aus $2r + s = 0$ und $4r - s = 0$ folgt $r = s = 0$ , dann ist die dritte Komponente $0 \ne 3$ . $\vec c$ liegt nicht in der Ebene – es geht nicht. In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Einheitsvektor

Berechne den Einheitsvektor zu $\vec v = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ . Wie viele Vektoren mit ganzzahligen Komponenten haben die Länge $3$ ? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$|\vec v| = \sqrt{0 + 9 + 16} = 5$ , $\vec v^{\,0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}6 \\ 0{,}8 \end{pmatrix}$ . Länge $3$ : $(\pm3 \mid 0 \mid 0)$ und Vertauschungen ( $6$ Vektoren) sowie alle Vorzeichen und Vertauschungen von $(1 \mid 2 \mid 2)$ ( $3 \cdot 8 = 24$ ) – zusammen $30$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Schwerpunkt und Teilpunkt

Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks $A(3 \mid 0 \mid 0)$ , $B(0 \mid 3 \mid 0)$ , $C(0 \mid 0 \mid 3)$ und prüfe $S = A + \tfrac23 \overrightarrow{AM_a}$ . Welcher Punkt $T$ teilt $[AB]$ mit $B(-1 \mid 4 \mid 0)$ im Verhältnis $1 : 3$ ? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$S = \tfrac13 (3 \mid 3 \mid 3) = (1 \mid 1 \mid 1)$ ; $M_a(0 \mid 1{,}5 \mid 1{,}5)$ , $A + \tfrac23 \begin{pmatrix} -3 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} = (1 \mid 1 \mid 1)$ ✓. Teilpunkt: $t = \tfrac14$ , $T = A + \tfrac14 \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = (2 \mid 1 \mid 0)$ . In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Oberstufe, Grundlagen der Koordinatengeometrie im Raum.
Zufallsweg als Experiment: Erst schätzen lassen, wie weit man nach $100$ Schritten kommt, dann simulieren; das sortierte Bild zeigt das Kommutativgesetz.
Häufige Stolpersteine:
- Beim Verbindungsvektor wird „Fuß minus Spitze“ gerechnet.
- $|\vec a + \vec b|$ wird als $|\vec a| + |\vec b|$ berechnet.
- Beim Einheitsvektor wird nur eine Komponente durch die Länge geteilt.
- Der Schwerpunkt wird beim Verhältnis $2 : 1$ von der falschen Seite gemessen.