Punkte und Körper im räumlichen Koordinatensystem

Worum geht es?

Im räumlichen Koordinatensystem stehen drei Achsen paarweise senkrecht aufeinander und schneiden sich im Ursprung $O(0 \mid 0 \mid 0)$ : die $x_1$ -Achse zeigt schräg nach vorn, die $x_2$ -Achse nach rechts, die $x_3$ -Achse nach oben. Ein Punkt $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ wird über seinen Koordinatenweg erreicht: $p_1$ in $x_1$ -Richtung, dann $p_2$ in $x_2$ -Richtung, dann $p_3$ in $x_3$ -Richtung; negative Koordinaten bedeuten die Gegenrichtung.

Je zwei Achsen spannen eine Koordinatenebene auf ( $x_1x_2$ -Ebene: $x_3 = 0$ usw.). In einer Koordinatenebene ist eine Koordinate $0$ , auf einer Achse sind es zwei – dann leuchtet die Ebene bzw. Achse auf. Die Projektion von $P(2 \mid 3 \mid 4)$ in die $x_1x_2$ -Ebene ist $P_{12}(2 \mid 3 \mid 0)$ .

Abstände ergeben sich mit zweimal Pythagoras:

\overline{OP} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2}, \qquad \overline{PQ} = \sqrt{\Delta x_1^2 + \Delta x_2^2 + \Delta x_3^2}, \qquad \text{z. B. } \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}39.

Ein achsenparalleler Quader mit Kanten $a, b, c$ hat die Raumdiagonale $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ . Risse: Der Blick von oben (Grundriss) zeigt $x_1$ und $x_2$ , der Blick von vorn (Aufriss) $x_2$ und $x_3$ , der Blick von der Seite (Seitenriss) $x_1$ und $x_3$ . Je zwei Risse teilen eine Koordinate – die gestrichelten Ordnungslinien verbinden sie. Zwei Risse genügen: Aus $P'(2 \mid -1)$ und $P''(-1 \mid 3)$ folgt $P(2 \mid -1 \mid 3)$ . Passen die gemeinsamen Koordinaten nicht zusammen, gibt es keinen solchen Punkt.

Oktanten: Die drei Koordinatenebenen teilen den Raum in acht Oktanten. Oben ( $x_3 > 0$ ) liegen I bis IV wie die Quadranten der $x_1x_2$ -Ebene, darunter V bis VIII. Das Vorzeichenmuster bestimmt den Oktanten, z. B. $(+ \mid - \mid +)$ : IV. Punkte auf einer Koordinatenebene liegen in keinem Oktanten.

Ausprobieren

Klicke auf Weg vom Ursprung und verfolge, wie man zu $P(3 \mid 4 \mid 2)$ kommt. Punkt
Blende den Koordinatenweg aus und drehe nicht: Kannst du die Koordinaten sicher ablesen? Ohne Hilfslinien
Tippe im Quader Ecken an und lass Pythagoras Schritt für Schritt ablaufen. Quader
Ziehe in Abstand die Punkte $P$ und $Q$ . Wann ist $\Delta x_3 = 0$ ? Abstand
In Risse: Tippe einen Riss an – die Kamera schaut aus dieser Richtung. Welcher Riss zeigt das Giebeldreieck des Hauses? Risse
Schalte das Rätsel ein: Von $T$ siehst du nur die drei Risse. Ziehe $P$ , bis alle Kreuze grün sind. Rätsel
In Oktanten: Tippe einen Oktanten an – $P$ springt hinein. Welche Vorzeichen ändern sich? Oktanten
Lass mehrmals 50 Zufallspunkte fallen. Wie viele landen auf einer Ebene? Zufallspunkte

Aufgaben

Aufgabe 1: Koordinaten ablesen

Lies die Koordinaten des Punktes ab. Drehe die Ansicht, wenn du unsicher bist. Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$P(-2 \mid 3 \mid -1{,}5)$ : $2$ nach hinten, $3$ nach rechts, $1{,}5$ nach unten. In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Raumdiagonale

Ein achsenparalleler Quader $ABCDEFGH$ hat die Ecken $A(0 \mid 0 \mid 0)$ und $G(4 \mid 3 \mid 2)$ . Berechne $\overline{AC}$ , die Raumdiagonale $\overline{AG}$ und das Volumen. Aufgabe laden

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$\overline{AC} = \sqrt{16 + 9} = 5$ , $\overline{AG} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$ , $V = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Abstand zweier Punkte

Berechne den Abstand von $P(3 \mid 4 \mid 2)$ und $Q(-1 \mid 1 \mid -2)$ . Aufgabe laden

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$\Delta x_1 = -4$ , $\Delta x_2 = -3$ , $\Delta x_3 = -4$ : $d_{12} = \sqrt{16 + 9} = 5$ , $\overline{PQ} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6{,}40$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Punkt aus zwei Rissen

Der Grundriss eines Punktes ist $T'(2 \mid -1)$ , der Aufriss $T''(-1 \mid 3)$ . Bestimme $T$ und seinen Seitenriss. Warum gibt es zu $T'(2 \mid -1)$ und $T''(1 \mid 3)$ keinen Punkt?

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$T(2 \mid -1 \mid 3)$ , Seitenriss $T'''(2 \mid 3)$ . Im zweiten Fall widersprechen sich die Risse beim gemeinsamen $x_2$ ( $-1$ gegen $1$ ). In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Oktanten

In welchem Oktanten liegen $A(2 \mid -3 \mid 2)$ , $B(-1 \mid -2 \mid -3)$ und $C(2 \mid 0 \mid 3)$ ? Aufgabe laden

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$A$ : $(+ \mid - \mid +)$ , Oktant IV. $B$ : $(- \mid - \mid -)$ , Oktant VII. $C$ liegt wegen $x_2 = 0$ in der $x_1x_3$ -Ebene, also in keinem Oktanten. In der Simulation zeigen

Aufgabe 6: Zufallspunkte auf Ebenen

Die Zufallspunkte haben Koordinaten aus $-4; -3{,}5; \ldots; 4$ (17 Werte, gleich wahrscheinlich). Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt ein Punkt auf einer Koordinatenebene? Aufgabe laden

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Keine Koordinate ist $0$ mit Wahrscheinlichkeit $\left(\frac{16}{17}\right)^3 = \frac{4096}{4913}$ . Also $1 - \frac{4096}{4913} = \frac{817}{4913} \approx 16{,}6\,\%$ . Bei $100$ Punkten erwartet man je Oktant etwa $100 \cdot \frac{4096}{4913} : 8 \approx 10{,}4$ Punkte. In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Oberstufe, Grundlagen der Koordinatengeometrie im Raum, als Einstieg in die analytische Geometrie.
Zweideutigkeit des Schrägbilds: Punkte ohne Hilfslinien ablesen lassen – die Diskussion motiviert Koordinatenweg, Lot und Risse. Das Risse-Rätsel eignet sich zu zweit.
Häufige Stolpersteine:
- Die $x_1$ -Achse wird mit der „waagerechten“ $x$ -Achse der Ebene verwechselt.
- Bei Projektionen wird die falsche Koordinate $0$ gesetzt (in der $x_1x_2$ -Ebene ist es $x_3$ ).
- Punkte auf einer Koordinatenebene werden einem Oktanten zugeordnet.
- Beim Abstand Klammern vergessen: $(-4)^2 = 16$ .