Potenzen, Zehnerpotenzen und Größenordnungen

Worum geht es?

Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren:

Die untere Zahl heißt Grundzahl (Basis), die kleine hochgestellte Zahl Hochzahl (Exponent). Die Hochzahl gibt an, wie oft die Grundzahl als Faktor vorkommt. Man liest $10^6$ als „zehn hoch sechs“. Das klappt mit jeder Grundzahl: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ und $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Bei Zehnerpotenzen ist das Ergebnis besonders leicht: $10^n$ ist eine $1$ mit $n$ Nullen. So ist $10^3 = 1\,000$ (tausend), $10^6 = 1\,000\,000$ (eine Million) und $10^9 = 1\,000\,000\,000$ (eine Milliarde). Sonderfälle: $10^1 = 10$ und $10^0 = 1$. Dass $10^0 = 1$ ist, wird so festgelegt – es passt zum Muster: Jede Stufe nach unten teilt durch $10$, also $1\,000 \to 100 \to 10 \to 1$.

Größenordnungen: Mit Zehnerpotenzen lassen sich sehr verschiedene Längen vergleichen. Ein Schritt in der Hochzahl bedeutet „10-mal so groß“:

Daraus folgen die Umrechnungen $1\,\text{km} = 10^3\,\text{m}$ und $1\,\text{m} = 10^3\,\text{mm}$.

Wissenschaftliche Schreibweise (Vertiefung bzw. Klasse 6): Große Zahlen schreibt man als $a \cdot 10^n$ mit $1 \le a < 10$, zum Beispiel $35\,000 = 3{,}5 \cdot 10^4$ und $1\,270\,000 = 1{,}27 \cdot 10^6$. Man setzt das Komma hinter die erste Ziffer, die nicht $0$ ist, und zählt, um wie viele Stellen es nach links gewandert ist.

Ausblick: Für Zahlen kleiner als $1$ wandert das Komma nach rechts, die Hochzahl wird negativ: $10^{-1} = 0{,}1$, $10^{-3} = 0{,}001$ und $0{,}0042 = 4{,}2 \cdot 10^{-3}$. Negative Hochzahlen kommen in der Simulation bei sehr kleinen Längen vor. In der 5. Klasse sind sie ein Ausblick, in der 6. Klasse lernst du sie genauer kennen.

Ausprobieren

1. Starte die Reise und beobachte die Maßstabsleiste oben links. Was passiert jedes Mal, wenn die Hochzahl um $1$ größer wird? Beispiel laden
2. Stelle $1$ Kästchen $= 1\,\text{m}$ ein. Wie viele Kästchen hoch ist das Kind? Klicke dann auf Ausschnitt · 10: Wie groß ist jetzt ein Kästchen, und was passiert mit dem Kind? Kind
3. Ziehe in der Bühne nach links oder rechts oder tippe ein Objekt auf dem Größenstrahl an. Welche Objekte liegen nur eine Stufe auseinander, welche mehrere?
4. Wechsle zu Potenz als Produkt und erhöhe die Hochzahl Schritt für Schritt. Wie oft kommen neue Würfel dazu? Potenz
5. Stelle die Grundzahl $2$ ein. Wie verändert sich der Würfelbau jetzt bei jedem Schritt? Zweierpotenzen
6. Gib bei Wissenschaftliche Schreibweise den Erddurchmesser in Metern ein und lass das Komma wandern. Erde

Aufgaben

Aufgabe 1: Potenzen ausrechnen

Berechne $10^4$, $2^5$ und $3^4$. Schreibe jeweils zuerst das Produkt auf. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Million und Milliarde

Schreibe eine Million und eine Milliarde als Zehnerpotenz. Wie viele Nullen haben die Zahlen? Wie oft passt eine Million in eine Milliarde? Aufgabe laden

Aufgabe 3: Größen schätzen

Stelle $1$ Kästchen $= 10\,\text{m}$ ein. Schätze mithilfe der Kästchen, wie hoch das Haus ist. Wie viele Kinder übereinander wären so hoch? Aufgabe laden

Aufgabe 4: Einheiten umrechnen

Schreibe als Zehnerpotenz von Metern: $1\,\text{km}$, $1\,\text{cm}$ und $1\,\text{mm}$. Wie viele Millimeter sind $1\,\text{km}$?

Aufgabe 5: Wissenschaftliche Schreibweise

Schreibe $35\,000$ und $1\,270\,000$ in der Form $a \cdot 10^n$ mit $1 \le a < 10$. Aufgabe laden

Aufgabe 6: Ausblick – sehr kleine Zahlen

Schreibe $0{,}0042$ als $a \cdot 10^n$. In welche Richtung wandert das Komma? Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Klasse 5 (Potenzen und Zehnerpotenzen bei großen Zahlen), Klasse 6 als Wiederholung und für die wissenschaftliche Schreibweise sowie für negative Hochzahlen wie $10^{-3} = 0{,}001$ (je nach Lehrplan auch später). Die Reise eignet sich als Einstieg am Beamer, die Würfelbauten für das Verständnis von „Hochzahl + 1 heißt mal Grundzahl“.
• Schätzen: Bei ausgeschalteten Ergebnissen schätzen die Schülerinnen und Schüler die Größen mithilfe der Kästchen und vergleichen danach.
• Modell: Die Objekte sind maßstäblich gezeichnet, nur Flugzeug und Raumstation sind als Symbole vergrößert. Die Größen sind typische, gerundete Werte.
• Häufige Stolpersteine:
  • $10^3$ wird als $10 \cdot 3 = 30$ gerechnet – richtig ist $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000$.
  • $2^5$ wird mit $5^2$ verwechselt ($32 \ne 25$).
  • $10^0$ wird für $0$ gehalten; das Muster der Zehnerpotenzen zeigt, warum $10^0 = 1$ ist.
  • In der wissenschaftlichen Schreibweise steht vor dem Komma eine Zahl größer als $9$ (z. B. $35 \cdot 10^3$) – das ist richtig gerechnet, aber nicht die vereinbarte Form.