Stellenwertsystem und Runden

Worum geht es?

Im Zehnersystem schreiben wir alle Zahlen mit den zehn Ziffern $0$ bis $9$. Welchen Wert eine Ziffer hat, hängt von ihrer Stelle ab: In $4\,253\,718$ bedeutet die $5$ fünf Zehntausender, also $50\,000$.

Der Grund ist das Bündeln: $10$ Einer ergeben einen Zehner, $10$ Zehner einen Hunderter, $10$ Hunderter einen Tausender und so weiter. Jede Stelle ist also zehnmal so viel wert wie die Stelle rechts daneben. In der Stellenwerttafel sind die Stellen in Dreiergruppen geordnet – Einer, Tausender, Millionen, Milliarden:

Große Zahlen lesen: Von rechts in Dreiergruppen gliedern und jede Gruppe mit ihrem Namen lesen:

In Worten: vier Millionen zweihundert­dreiundfünfzig­tausend­siebenhundert­achtzehn. Zahlen unter einer Million schreibt man zusammen, Million und Milliarde groß und getrennt.

Runden: Man sucht die Rundungsstelle und schaut auf die Ziffer rechts daneben:

• $0, 1, 2, 3, 4$: abrunden – die Rundungsstelle bleibt.
• $5, 6, 7, 8, 9$: aufrunden – die Rundungsstelle wird um $1$ größer.

Alle Ziffern rechts der Rundungsstelle werden $0$. Man schreibt $\approx$ („ungefähr gleich“): auf Tausender gerundet ist $4\,253\,718 \approx 4\,254\,000$. Am Zahlenstrahl sieht man, warum: Die gerundete Zahl ist die nähere der beiden Nachbarzahlen. Liegt die Zahl genau in der Mitte, wird nach Vereinbarung aufgerundet.

Ausprobieren

1. Lade die Zahl 999 999 und tippe bei E auf +. Beobachte, wie immer zehn Plättchen zu einem Plättchen der nächsten Stelle gebündelt werden.
2. Lade 1 000 und tippe bei E auf −. Woher kommt das Plättchen, wenn die Einerspalte leer ist?
3. Drücke · 10 und : 10. Was passiert mit den Ziffern in der Stellenwerttafel?
4. Ziehe die Stecknadel mit der Zahl am unteren Zahlenstrahl langsam über die Mitte. Wann springt der Rundungsbogen auf die andere Seite? Welche Ziffer steht dann unter der Stecknadel?
5. Tippe auf verschiedene Spaltenüberschriften der Stellenwerttafel. Wie verändert sich der Ausschnitt in der Lupe?
6. Die Zahl liegt genau in der Mitte – was macht die Rundungsregel?
7. Runde 2 996 481 auf Zehntausender. Warum ändern sich beim Aufrunden gleich mehrere Ziffern?

Aufgaben

Aufgabe 1: Zahlwort

Aufgabe laden Schreibe die Zahl in Worten. Achte auf die Nullen!

Aufgabe 2: Stellenwert einer Ziffer

Welchen Wert hat die Ziffer $7$ in $4\,753\,218$, welchen in $7\,000\,000\,000$? Zahl laden

Aufgabe 3: Runden auf verschiedene Stellen

Aufgabe laden Runde $6\,849\,513$ auf Tausender, auf Zehntausender und auf Millionen. Prüfe mit „Runden“.

Aufgabe 4: Bündeln

Wie viele Hunderter ergeben eine Million? Wie viele Tausender ergeben eine Milliarde?

Aufgabe 5: Rückwärts denken

Eine natürliche Zahl ergibt auf Hunderter gerundet $3\,500$. Welche Zahl ist die kleinste, welche die größte, auf die das zutrifft?

Aufgabe 6: Darf man schrittweise runden?

Mia rundet $71\,499$ zuerst auf Hunderter und das Ergebnis dann auf Tausender. Tom rundet $71\,499$ direkt auf Tausender. Vergleiche.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Klasse 5 (große Zahlen, Zehnersystem als Stellenwertsystem, Zahlenstrahl, Runden). Die Stellenwerttafel mit Plättchen knüpft an die Darstellung aus der Grundschule an.
• Bedienung: Mit + und − wird in einer Spalte ein Plättchen gelegt oder weggenommen. Kommt ein zehntes Plättchen dazu, wird automatisch gebündelt, ist eine Spalte leer, wird von links entbündelt – beides animiert und benannt („10 E = 1 Z“). Ein Tipp auf eine Spaltenüberschrift wählt die Rundungsstelle, ein Tipp auf ein Ziffernplättchen zeigt seinen Stellenwert. Die Stecknadel am Zahlenstrahl lässt sich ziehen.
• Zahlenstrahl mit Lupe: Oben ist der Abschnitt der nächsthöheren Stelle in zehn Teile geteilt, unten wird der Teil zwischen den beiden Nachbarzahlen vergrößert. Die Ziffern $0$ bis $9$ unter den Abschnitten zeigen: Die entscheidende Ziffer gibt an, in welchem Zehntel der Strecke die Zahl liegt. So wird die Rundungsregel mit der Lage am Zahlenstrahl begründet.
• Aufgabenmodus: „Gerundete Zahl sofort zeigen“ ausschalten (show=0): Das Ergebnis erscheint erst nach „Runden“. Das Zahlwort lässt sich ausblenden (words=0).
• Häufige Stolpersteine:
  • Schrittweises Runden (Aufgabe 6).
  • Beim Runden werden Stellen „abgeschnitten“: $8\,492$ auf Hunderter gerundet ergibt $8\,500$, nicht $85$.
  • Nullen in der Mitte werden beim Schreiben vergessen ($30\,408\,015$).
  • Englisch billion bedeutet eine Milliarde ($10^9$), die deutsche Billion ist $10^{12}$.
• Rechtschreibung: Die Zahlwörter folgen den amtlichen Regeln. Die Simulation schreibt „einhundert“ und „eintausend“; „hundert“ und „tausend“ sind ebenso richtig.