Primfaktorzerlegung und Teilbarkeit

Worum geht es?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat: $1$ und sich selbst. $2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$ sind Primzahlen. Die $1$ ist keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler. Die $2$ ist die einzige gerade Primzahl. Zahlen mit mehr als zwei Teilern heißen zusammengesetzt.

Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl größer als $1$ lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Im Faktorbaum zerlegt man so lange, bis nur noch Primzahlen übrig sind:

360 = 18 \cdot 20 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5

Wie man den Baum auch beginnt – am Ende stehen immer dieselben Primfaktoren. Die Primfaktorzerlegung ist (bis auf die Reihenfolge) eindeutig.

Teilbarkeitsregeln helfen, Teiler schnell zu finden:

durch $2$ , $5$ oder $10$ : Man schaut auf die letzte Ziffer.
durch $4$ oder $25$ : Man schaut auf die Zahl aus den letzten beiden Ziffern.
durch $3$ oder $9$ : Man prüft die Quersumme, z. B. $3 + 6 + 0 = 9$ .
durch $6$ : Die Zahl ist durch $2$ und durch $3$ teilbar.

Sieb des Eratosthenes: Man streicht die $1$ . Die kleinste nicht gestrichene Zahl ist eine Primzahl; man umkreist sie und streicht alle ihre Vielfachen. Bei einer Primzahl $p$ ist $p \cdot p$ das erste neu gestrichene Vielfache, z. B. $49$ bei der $7$ – kleinere Vielfache sind schon gestrichen. Bis $100$ genügen $2, 3, 5$ und $7$ , denn schon $11 \cdot 11 = 121$ ist größer als $100$ .

ggT und kgV: Der größte gemeinsame Teiler ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren, das kleinste gemeinsame Vielfache das Produkt aller Primfaktoren, wobei gemeinsame nur einmal gezählt werden. Mit $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ und $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ :

\text{ggT}(24; 36) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \qquad \text{kgV}(24; 36) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 72

Ausprobieren

Zerlege 360 Schritt für Schritt: Tippe auf die gestrichelten Zahlen oder drücke Zerlegen.
Drücke mehrmals Anderer Baum. Was ändert sich, was bleibt immer gleich?
Spalte immer den kleinsten Primfaktor ab. Wie sieht der Baum jetzt aus?
Zerlege 512 und schreibe das Ergebnis als Potenz.
Tippe im Baum auf eine Zahl: Daneben (auf dem Handy darunter) siehst du, durch welche Zahlen sie teilbar ist. Probiere 783 – die Quersumme verrät viel.
Führe das Sieb bis 100 mit Nächste Primzahl durch. Tippe auf eine gestrichene Zahl: Welche Primzahl hat sie gestrichen?
Ordne die Zahlen in 6 Spalten an. In welchen Spalten stehen die Primzahlen ab $5$ ? Warum?
Bestimme ggT und kgV von 24 und 36 mit Faktoren zuordnen. Was passiert bei 8 und 15?

Aufgaben

Aufgabe 1: Primfaktorzerlegung

Aufgabe laden Zerlege $84$ , $126$ und $500$ in Primfaktoren und schreibe mit Potenzen.

Lösung anzeigen

$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ , $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$ und $500 = 2^2 \cdot 5^3$ . 126 zeigen · 500 zeigen

Aufgabe 2: Teilbarkeitsregeln

Prüfe ohne Taschenrechner, ob $852$ durch $2$ , $3$ , $4$ , $6$ und $9$ teilbar ist.

Lösung anzeigen

Die Endziffer $2$ ist gerade: durch $2$ teilbar. Die Quersumme $8 + 5 + 2 = 15$ ist durch $3$ , aber nicht durch $9$ teilbar. $52$ ist durch $4$ teilbar, also auch $852$ . Durch $2$ und $3$ teilbar heißt durch $6$ teilbar. Nur durch $9$ ist $852$ nicht teilbar. Prüfen

Aufgabe 3: Primzahlen suchen

Welche Primzahlen liegen zwischen $50$ und $70$ ?

Lösung anzeigen

$53$ , $59$ , $61$ und $67$ . Alle anderen Zahlen dazwischen sind durch $2$ , $3$ , $5$ oder $7$ teilbar, z. B. $51 = 3 \cdot 17$ und $57 = 3 \cdot 19$ . Sieb zeigen

Aufgabe 4: ggT und kgV

Aufgabe laden Bestimme ggT und kgV von $60$ und $84$ über die Primfaktoren.

Lösung anzeigen

$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ und $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$ . Gemeinsam sind $2 \cdot 2 \cdot 3$ , also $\text{ggT}(60; 84) = 12$ . Alle Faktoren: $\text{kgV}(60; 84) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$ .

Aufgabe 5: Busse

Zwei Busse fahren um $8$ Uhr gleichzeitig ab. Bus A fährt alle $12$ Minuten, Bus B alle $18$ Minuten. Wann fahren sie das nächste Mal gleichzeitig ab?

Lösung anzeigen

Gesucht ist das kleinste gemeinsame Vielfache: $\text{kgV}(12; 18) = 36$ . Die Busse fahren um $8{:}36$ Uhr wieder gleichzeitig. In der Simulation zeigen

Aufgabe 6: Warum genügt die 7?

Begründe, warum man beim Sieb bis $100$ nach den Vielfachen von $7$ aufhören kann.

Lösung anzeigen

Eine zusammengesetzte Zahl bis $100$ ist ein Produkt $a \cdot b$ mit $a \le b$ . Wäre $a$ größer als $10$ , dann wäre $a \cdot b > 10 \cdot 10 = 100$ . Also hat jede zusammengesetzte Zahl bis $100$ einen Teiler bis $10$ und damit einen Primfaktor $2$ , $3$ , $5$ oder $7$ – sie ist schon gestrichen.

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 5 (Primfaktorzerlegung und Teilbarkeitsregeln). ggT und kgV werden später beim Kürzen und beim Gleichnamigmachen von Brüchen gebraucht.
Drei Ansichten: Faktorbaum mit Teilbarkeitsregeln, Sieb des Eratosthenes und ggT/kgV im Mengenbild. Jede Primzahl hat in allen Ansichten dieselbe Farbe.
Schritt für Schritt: Ist „Ergebnis sofort zeigen“ ausgeschaltet (show=0), beginnen Baum, Sieb und Mengenbild leer und werden mit den Knöpfen oder durch Antippen aufgebaut.
Eindeutigkeit: „Anderer Baum“ zerlegt mit zufälligen Teilern. Dass immer dieselben Primfaktoren entstehen, ist ein guter Anlass für die Frage nach dem Warum (in den unteren Klassen ohne Beweis).
Häufige Stolpersteine:
- „ $1$ ist eine Primzahl.“
- „Ungerade Zahlen sind Primzahlen.“ – $9$ , $15$ , $51 = 3 \cdot 17$ oder $91 = 7 \cdot 13$ sind es nicht.
- Die Quersummenregel wird auf $4$ übertragen.
- ggT und kgV werden verwechselt; das Mengenbild zeigt: Schnittmenge ergibt den ggT, alles zusammen den kgV.