Brüche erweitern, kürzen und vergleichen

Worum geht es?

Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Im Bild wird jedes Stück noch einmal in gleich große Teile geschnitten – es gibt mehr, aber kleinere Stücke. Der Anteil bleibt gleich:

\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}

Kürzen ist die Umkehrung: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren. Im Bild werden je gleich viele Stücke zu einem zusammengefasst. Das geht nur, wenn Zähler und Nenner durch diese Zahl teilbar sind. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner außer $1$ keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Am schnellsten kürzt man mit dem ggT:

\frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3}

Brüche, die durch Erweitern oder Kürzen auseinander hervorgehen, sind gleichwertig: Sie beschreiben denselben Anteil und liegen am Zahlenstrahl an derselben Stelle. In der Bruchwand enden sie genau übereinander.

Brüche vergleichen:

Gleicher Nenner (gleichnamige Brüche): Die Stücke sind gleich groß, man vergleicht die Zähler: $\frac{9}{12} < \frac{10}{12}$ .
Verschiedene Nenner: Man macht die Brüche gleichnamig. Der kleinste gemeinsame Nenner ist das kgV der Nenner, der Hauptnenner:

\frac{3}{4} = \frac{9}{12} < \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

Gleicher Zähler: Beide haben gleich viele Stücke. Der Bruch mit dem größeren Nenner hat die kleineren Stücke und ist deshalb kleiner: $\frac{4}{9} = \frac{12}{27} < \frac{12}{22} = \frac{6}{11}$ .

Am Zahlenstrahl liegt der kleinere Bruch weiter links.

Ausprobieren

Lade 3/4 und 5/6 und drücke Gleichnamig machen. Wie verändern sich die Streifen, was bleibt gleich? Wie groß ist der Unterschied?
Vergleiche 5/8 und 3/5 zuerst nach Gefühl. Der Unterschied ist winzig – in welchen Teilen kann man ihn genau ablesen?
Rate selbst: Welcher Bruch ist größer? Tippe auf <, = oder >. Mit Neue Aufgabe bekommst du weitere Paare.
Bei 4/9 und 6/11 wäre der Hauptnenner 99. Mit Zähler angleichen geht es leichter. Welche Stücke sind größer?
Unechte Brüche als Kreise: 7/4 und 5/3. Wie viele Ganze sind es jeweils?
Sind 6/8 und 9/12 gleich groß? Was zeigt der Zahlenstrahl?
Lade 12/18 und stelle den Regler auf 4: Warum geht Kürzen mit 4 nicht? Achte auf die Klammern unter dem Streifen. Kürze dann Schritt für Schritt mit 2 und mit 3.
Tippe in der Bruchwand auf ein Feld, um diesen Bruch zu wählen. Welche Brüche sind gleich einhalb?
Spiele Brüche ordnen und steigere dich bis schwer.

Aufgaben

Aufgabe 1: Erweitern und kürzen

a) Erweitere $\frac{2}{5}$ mit $4$ . b) Kürze $\frac{24}{36}$ vollständig. Aufgabe laden

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a) $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$ . b) $\text{ggT}(24; 36) = 12$ , also $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ . Schrittweise geht es auch: $\frac{24}{36} = \frac{12}{18} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ (mit $2$ , $2$ und $3$ gekürzt). In einem Schritt zeigen

Aufgabe 2: Warum nicht mit 4?

Begründe, warum man $\frac{6}{8}$ nicht mit $4$ kürzen kann. Aufgabe laden

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$8$ ist durch $4$ teilbar, $6$ aber nicht. Fasst man je $4$ Achtel zusammen, endet die Färbung mitten in einer Gruppe: Der Zähler wäre $6 : 4 = 1{,}5$ – keine ganze Zahl. Mit $2$ geht es: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .

Aufgabe 3: Vergleichen

Setze $<$ , $=$ oder $>$ ein: a) $\frac{2}{3} \;\square\; \frac{3}{5}$ b) $\frac{7}{12} \;\square\; \frac{5}{8}$ c) $\frac{6}{9} \;\square\; \frac{8}{12}$ Aufgabe a laden

Lösung anzeigen

a) Hauptnenner $15$ : $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$ , also $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$ .
b) Hauptnenner $24$ : $\frac{14}{24} < \frac{15}{24}$ , also $\frac{7}{12} < \frac{5}{8}$ . Zeigen
c) Beide sind gekürzt $\frac{2}{3}$ , also $\frac{6}{9} = \frac{8}{12}$ . Zeigen

Aufgabe 4: Gleiche Zähler

Welcher Bruch ist größer, $\frac{3}{7}$ oder $\frac{6}{11}$ ? Vergleiche über gleiche Zähler.

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$\frac{3}{7} = \frac{6}{14}$ . Beide Brüche haben jetzt $6$ Stücke; Vierzehntel sind kleiner als Elftel. Also $\frac{6}{14} < \frac{6}{11}$ , d. h. $\frac{3}{7} < \frac{6}{11}$ . Zeigen

Aufgabe 5: Pizza

Lea isst $\frac{3}{8}$ einer Pizza, Tim $\frac{2}{5}$ einer gleich großen Pizza. Wer isst mehr, und um wie viel?

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Hauptnenner $40$ : $\frac{3}{8} = \frac{15}{40}$ und $\frac{2}{5} = \frac{16}{40}$ . Tim isst mehr, und zwar $\frac{1}{40}$ der Pizza. Als Kreise zeigen

Aufgabe 6: Ordnen

Ordne der Größe nach: $\frac{3}{4}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{5}{8}$ , $\frac{7}{12}$ .

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Mit dem Hauptnenner $24$ : $\frac{18}{24}$ , $\frac{16}{24}$ , $\frac{15}{24}$ , $\frac{14}{24}$ . Also $\frac{7}{12} < \frac{5}{8} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ .

Aufgabe 7: Ein Bruch dazwischen (Knobelaufgabe)

Finde einen Bruch, der zwischen $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ liegt.

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Gleichnamig: $\frac{2}{6}$ und $\frac{3}{6}$ – dazwischen liegt kein Sechstel. Erweitert man weiter auf $\frac{4}{12}$ und $\frac{6}{12}$ , liegt $\frac{5}{12}$ dazwischen. Zwischen zwei verschiedenen Brüchen liegt immer noch ein weiterer Bruch.

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 6, Bruchteile und Bruchzahlen: Erweitern, Kürzen, Vergleichen und Brüche am Zahlenstrahl. Das Gleichnamigmachen wird beim Addieren von Brüchen wieder gebraucht. Die Simulation „Bruchteile darstellen“ eignet sich als Einstieg, diese zur Vertiefung und Übung.
Drei Ansichten: Vergleichen (zwei Brüche als Streifen oder Kreise mit gemeinsamem Zahlenstrahl), Erweitern und Kürzen (Rechenweg mit Bögen „·3“ bzw. „:2“, Gruppen-Klammern und Bruchwand) und das Spiel Brüche ordnen (drei Stufen, mit Tipp-Streifen).
Raten statt ablesen: Mit show=0 (Schalter „Vergleichszeichen sofort zeigen“ aus) erscheinen statt des Zeichens drei Knöpfe; die Lernenden tippen selbst auf $<$ , $=$ oder $>$ und erhalten sofort Rückmeldung. Zusammen mit „Ergebnisse verdecken“ eignet sich das für Aufgaben per Link oder QR-Code.
Bewusste Gestaltung: Die Stücke werden erst nummeriert, wenn sie gleich groß sind (nach dem Gleichnamigmachen). So wird nicht nahegelegt, Zähler verschieden großer Stücke zu vergleichen.
Häufige Stolpersteine:
- „Größerer Nenner, größerer Bruch“ ( $\frac{1}{8} > \frac{1}{4}$ ) – die Ansicht mit gleichen Zählern zeigt, dass die Stücke kleiner werden.
- Nur die Zähler vergleichen: Bei $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ passt das zufällig, bei $\frac{5}{8} > \frac{3}{5}$ nicht.
- „ $\frac{3}{4}$ und $\frac{4}{5}$ sind gleich groß, weil jeweils ein Stück fehlt.“ Die fehlenden Stücke sind verschieden groß; der Unterschied ist als schraffierter Bereich zu sehen.
- „Erweitern macht den Bruch größer.“ Der gefärbte Teil und der Punkt am Zahlenstrahl bleiben beim Erweitern unverändert.
- Kürzen durch Streichen gleicher Ziffern: $\frac{16}{64} = \frac{1}{4}$ stimmt nur zufällig, $\frac{12}{24} = \frac{1}{4}$ ist falsch.
Hinweis: Der Vergleich über gleiche Zähler ist eine nützliche Ergänzung zum Hauptnenner, besonders wenn das kgV der Nenner groß ist.