Satz des Thales – Scitura

Worum geht es?

Zeichnet man über einer Strecke $\overline{AB}$ einen Kreis, dessen Durchmesser genau diese Strecke ist, erhält man den Thaleskreis. Sein Mittelpunkt $M$ ist der Mittelpunkt von $\overline{AB}$ .

Satz des Thales: Liegt der Punkt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$ (und ist $C \neq A, B$ ), dann hat das Dreieck $ABC$ bei $C$ einen rechten Winkel: $\gamma = 90^\circ$ .

Es ist ganz gleich, wo auf dem Kreis $C$ liegt – der Winkel bei $C$ bleibt immer $90^\circ$ .

Umkehrung: Hat ein Dreieck $ABC$ bei $C$ einen rechten Winkel, dann liegt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$ . Liegt $C$ innerhalb des Kreises, ist $\gamma$ größer als $90^\circ$ ; liegt $C$ außerhalb, ist $\gamma$ kleiner als $90^\circ$ .

Beweisidee

Zeichnet man den Radius $\overline{MC}$ ein, zerfällt das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke, denn $\overline{MA} = \overline{MB} = \overline{MC} = r$ .

Im Dreieck $AMC$ sind die Basiswinkel gleich groß: beide $\alpha$ .
Im Dreieck $MBC$ sind die Basiswinkel gleich groß: beide $\beta$ .

Der Winkel bei $C$ setzt sich also aus $\alpha$ und $\beta$ zusammen: $\gamma = \alpha + \beta$ . Mit der Winkelsumme im Dreieck $ABC$ folgt

\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha + \beta = 90^\circ \quad\Rightarrow\quad \gamma = 90^\circ.

Ausprobieren

Ziehe den Punkt $C$ über den Kreis oder drücke Abspielen. Was passiert mit dem Winkel bei $C$ – und was mit den Winkeln bei $A$ und $B$ ?
Was passiert, wenn $C$ ganz nah an $A$ oder $B$ heranrückt? Beispiel laden
Schalte die Beweisidee ein und beobachte die gleich großen Winkel. Beweisidee zeigen
Schalte C frei verschieben ein und ziehe $C$ in den Kreis hinein bzw. aus ihm heraus. C innerhalb · C außerhalb

Aufgaben

Aufgabe 1: Winkel berechnen

$C$ liegt auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$ , und es ist $\alpha = 35^\circ$ . Berechne $\beta$ und den Winkel $\angle AMC$ am Mittelpunkt.

Lösung anzeigen

Nach dem Satz des Thales ist $\gamma = 90^\circ$ , also $\beta = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

Das Dreieck $AMC$ ist gleichschenklig mit den Basiswinkeln $35^\circ$ , also ist $\angle AMC = 180^\circ - 2 \cdot 35^\circ = 110^\circ$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Rechtwinkliges Dreieck konstruieren

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $c = \overline{AB} = 6\,\text{cm}$ und der Kathete $a = \overline{BC} = 4\,\text{cm}$ . Beschreibe dein Vorgehen.

Lösung anzeigen

Strecke $\overline{AB}$ mit $6\,\text{cm}$ zeichnen und ihren Mittelpunkt $M$ konstruieren.
Thaleskreis um $M$ mit Radius $3\,\text{cm}$ zeichnen.
Kreis um $B$ mit Radius $4\,\text{cm}$ zeichnen. Ein Schnittpunkt mit dem Thaleskreis ist $C$ .

Nach dem Satz des Thales hat das Dreieck bei $C$ einen rechten Winkel. Es gibt zwei Schnittpunkte (oberhalb und unterhalb von $\overline{AB}$ ) – die beiden Dreiecke sind spiegelbildlich und damit kongruent.

Aufgabe 3: Innerhalb oder außerhalb?

Untersuche mit C frei verschieben: Wie groß ist $\gamma$ , wenn $C$ innerhalb des Kreises liegt, und wie groß, wenn $C$ außerhalb liegt? Formuliere die Umkehrung des Satzes des Thales.

Lösung anzeigen

Innerhalb des Kreises ist $\gamma > 90^\circ$ (stumpfer Winkel), außerhalb ist $\gamma < 90^\circ$ (spitzer Winkel). Nur auf dem Kreis ist $\gamma = 90^\circ$ .

Umkehrung: Ist der Winkel bei $C$ ein rechter Winkel, so liegt $C$ auf dem Kreis mit dem Durchmesser $\overline{AB}$ . C innerhalb zeigen

Aufgabe 4: Tangenten an einen Kreis (Knobelaufgabe)

Gegeben sind ein Kreis $k$ um $M$ und ein Punkt $P$ außerhalb des Kreises. Konstruiere die beiden Tangenten von $P$ an den Kreis. Tipp: Eine Tangente steht senkrecht auf dem Radius zum Berührpunkt.

Lösung anzeigen

Für einen Berührpunkt $B$ gilt $\angle MBP = 90^\circ$ . Nach der Umkehrung des Satzes des Thales liegt $B$ also auf dem Thaleskreis über $\overline{MP}$ .

Konstruktion: Mittelpunkt von $\overline{MP}$ bestimmen, Thaleskreis über $\overline{MP}$ zeichnen – seine Schnittpunkte mit $k$ sind die Berührpunkte $B_1$ und $B_2$ . Die Geraden $PB_1$ und $PB_2$ sind die Tangenten.

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Entdeckend etwa in Klasse 7/8 (Kongruenz und besondere Dreiecke, dort auch die Tangentenkonstruktion aus Aufgabe 4). Die Lernenden formulieren die Vermutung selbst, bevor Sie die Beweisidee einblenden.
Animation: Mit Abspielen wandert $C$ gleichmäßig über den Kreis. Gut geeignet, um die Konstanz von $\gamma$ trotz wechselnder $\alpha$ und $\beta$ zu betonen.
Häufige Stolpersteine:
- „Der rechte Winkel liegt bei $M$ .“ – Der rechte Winkel liegt immer gegenüber dem Durchmesser, also bei $C$ .
- Satz und Umkehrung werden nicht unterschieden. Der Modus C frei verschieben macht die Umkehrung erfahrbar.
- In der Lage unterhalb von $\overline{AB}$ wird der Winkel nicht wiedererkannt – auch dort gilt der Satz.
Aufgabenmodus: Mit Teilen → Ergebnisse verdecken sind die Winkelgröße (auch im Bild) und die Beweisidee verdeckt; so lässt sich erst vermuten, dann kontrollieren. Im Unterricht blenden Sie die Winkelgröße im Bild mit Winkelgröße im Bild anzeigen aus und ein.
Hinweis zum freien Verschieben: $C$ springt in Schritten von $0{,}1$ . „Auf dem Thaleskreis“ und $\gamma = 90^\circ$ erscheinen nur, wenn $C$ genau auf dem Kreis liegt, z. B. bei $C(0|3)$ , $C(1{,}8|2{,}4)$ oder $C(2{,}4|1{,}8)$ . Schon knapp daneben ist $\gamma$ etwas größer oder kleiner als $90^\circ$ , z. B. $C(0{,}3|3)$ : $\gamma \approx 89{,}7^\circ$ .