Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken

Worum geht es?

Ein Rechteck hat die Länge $a$ und die Breite $b$. Zwei Fragen klingen ähnlich, meinen aber ganz Verschiedenes:

Flächeninhalt $A$ – wie viel Fläche bedeckt das Rechteck? Man misst ihn mit Einheitsquadraten. Ein Quadrat mit der Seitenlänge $1\,\text{cm}$ hat den Flächeninhalt $1\,\text{cm}^2$ (ein Quadratzentimeter). In ein Rechteck mit $a = 5\,\text{cm}$ und $b = 3\,\text{cm}$ passen $3$ Reihen mit je $5$ Einheitsquadraten, also $5 \cdot 3 = 15$ Stück:

Umfang $U$ – wie lang ist der Rand einmal ganz herum? Der Umfang ist eine Länge und wird in $\text{cm}$ angegeben. Man läuft die vier Seiten ab: $a + b + a + b$. Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang, deshalb

Wickelt man den Rand wie einen Faden ab, erhält man zwei gleich lange Stücke $a + b$ – daher kommt die Klammerform $2 \cdot (a + b)$.

Beim Quadrat sind alle Seiten gleich lang: $A = a \cdot a$ und $U = 4 \cdot a$.

Gleicher Umfang – verschiedener Flächeninhalt. Alle Rechtecke mit $U = 16\,\text{cm}$ haben $a + b = 8\,\text{cm}$:

Je „quadratischer“ das Rechteck, desto größer der Flächeninhalt; das Quadrat hat den größten. Umgekehrt haben bei festem Flächeninhalt lange, schmale Streifen den größten Umfang: Bei $A = 12\,\text{cm}^2$ hat $1\,\text{cm} \times 12\,\text{cm}$ den Umfang $26\,\text{cm}$, $3\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}$ nur $14\,\text{cm}$.

Zusammengesetzte Figuren wie eine L-Form zerlegt man in Rechtecke ($A = A_1 + A_2$) oder ergänzt sie zu einem großen Rechteck und zieht das fehlende Stück ab ($A = a \cdot b - c \cdot d$). Überraschend: Der Umfang der L-Form ist genauso groß wie der des großen Rechtecks.

Ausprobieren

1. Ziehe die Ecke des Rechtecks. Beobachte, wie sich Flächeninhalt und Umfang ändern. Welcher Wert wächst schneller, wenn du das Rechteck in beide Richtungen vergrößerst?
2. Drücke Auslegen und zählen: Zuerst wird die erste Reihe Quadrat für Quadrat gelegt, dann wird sie nach oben kopiert. Erkläre damit die Formel $A = a \cdot b$. Rechteck 7 cm × 4 cm
3. Drücke Ameise laufen lassen und zähle mit, wie viele Zentimeter sie läuft. Danach wird der Rand als Faden abgewickelt. Warum sind die beiden Fadenstücke gleich lang?
4. Beim Quadrat 4 cm × 4 cm ist $U = 16\,\text{cm}$ und $A = 16\,\text{cm}^2$. Warum darf man trotzdem nicht sagen, Umfang und Flächeninhalt seien „gleich groß“?
5. Vergleiche den langen Streifen 10 cm × 1 cm mit dem Quadrat. Welches hat den größeren Umfang, welches den größeren Flächeninhalt?
6. Gleicher Umfang: Ziehe die Ecke an der gestrichelten Linie entlang. Bei welchem Rechteck ist der Flächeninhalt am größten? Mit Alle Rechtecke durchgehen entsteht das ganze Säulendiagramm.
7. Gleicher Flächeninhalt: Welches Rechteck mit $A = 24\,\text{cm}^2$ hat den kleinsten Umfang? Probiere auch A = 13 cm² aus – was ist an 13 besonders?
8. L-Form: Bestimme den Flächeninhalt durch waagerechtes und senkrechtes Zerlegen und durch Ergänzen. Schalte dann Innere Kanten nach außen schieben ein. L-Form mit verschobenen Kanten

Aufgaben

Aufgabe 1: Flächeninhalt und Umfang

Ein Rechteck ist $8\,\text{cm}$ lang und $3\,\text{cm}$ breit. Berechne Flächeninhalt und Umfang. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Rückwärts rechnen

(a) Ein Quadrat hat den Umfang $20\,\text{cm}$. Wie lang ist eine Seite, wie groß ist der Flächeninhalt? (b) Ein Rechteck hat den Flächeninhalt $18\,\text{cm}^2$ und ist $6\,\text{cm}$ lang. Wie breit ist es, wie groß ist sein Umfang?

Aufgabe 3: Stimmt das?

Lena behauptet: „Ein Rechteck mit größerem Umfang hat auch einen größeren Flächeninhalt.“ Hat sie recht?

Aufgabe 4: Das größte Beet

Für ein rechteckiges Beet stehen $24\,\text{m}$ Zaun zur Verfügung. Die Seitenlängen sollen ganze Meter sein. Wie lang und breit muss das Beet werden, damit es möglichst groß ist? (Rechne in der Simulation mit $1\,\text{cm}$ für $1\,\text{m}$.) Aufgabe laden

Aufgabe 5: L-Form auf zwei Arten

Aus einem Rechteck $8\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}$ wird rechts oben ein Rechteck $3\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}$ herausgeschnitten. Bestimme den Flächeninhalt auf zwei verschiedene Arten und den Umfang. Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Klasse 5, Größen und ihre Einheiten, Abschnitt Flächeninhalt. Geeignet zur Einführung (Auslegen, Ameise), zum Üben (Aufgabenlinks mit show=0&_hide=1) und zur Vertiefung (Vergleiche, L-Form).
• Modell: Seitenlängen sind ganze Zentimeter ($a \le 10$, $b \le 6$). Das Rechenpapier zeigt ganze Zentimeter kräftig und halbe fein – wie im Heft, wo ein Kästchen $5\,\text{mm}$ breit ist. Ein Zentimeterquadrat besteht dort aus vier Kästchen. Auf dem Bildschirm ist „1 cm“ natürlich nicht wirklich 1 cm lang.
• Darstellungen: Länge $a$ (waagerecht) und Breite $b$ (senkrecht) haben in Bild, Formeln und Faden dieselbe Farbe. Der Faden zerfällt in zwei Stücke der Länge $a + b$ und begründet so $U = 2 \cdot (a + b)$.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Umfang und Flächeninhalt kann man vergleichen“ – beim Quadrat $4 \times 4$ sind die Maßzahlen gleich, die Größen (Länge bzw. Fläche) aber nicht.
  • „Größerer Umfang bedeutet größere Fläche“ – siehe Modus Gleicher Umfang.
  • Formeln vertauscht ($U = a \cdot b$, $A = a + b$) oder beim Umfang nur zwei Seiten addiert ($U = a + b$).
  • Bei der L-Form werden die beiden inneren Kanten beim Umfang vergessen, oder es wird $A = a \cdot b$ gerechnet.
  • Auf Rechenpapier wird jedes Kästchen als $1\,\text{cm}^2$ gezählt.
• Ausblick: Umrechnen von Flächeneinheiten ($1\,\text{cm}^2 = 100\,\text{mm}^2$) und Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck und Trapez durch Zerlegen und Ergänzen (etwa Klasse 6).