Prisma und Zylinder: Oberfläche und Volumen

Worum geht es?

Ein (gerades) Prisma hat zwei deckungsgleiche, parallele Flächen: die Grundfläche und die Deckfläche. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Beim Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis. Die Seitenflächen zusammen heißen Mantel.

Volumen. Man denkt sich den Körper in Schichten von $1\,\text{cm}$ Dicke zerlegt. Jede Schicht hat das Volumen $G \cdot 1\,\text{cm}$ . Ist der Körper $h = 4\,\text{cm}$ hoch, gibt es 4 solche Schichten, bei $h = 4{,}5\,\text{cm}$ viereinhalb. Also

V = G \cdot h \qquad \text{Zylinder: } V = \pi r^2 \cdot h

Oberfläche. Rollt man den Körper einmal über den Boden, hinterlässt jede Seitenfläche ihren Abdruck. Zusammen ergeben die Abdrücke ein Rechteck: Seine Länge ist der Umfang $u$ der Grundfläche, seine Breite die Höhe $h$ . Mit Grund- und Deckfläche entsteht das Netz:

M = u \cdot h, \qquad O = 2 \cdot G + M \qquad \text{Zylinder: } O = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot h

Der Zylinder als Grenzfall. Ein regelmäßiges $n$ -Eck mit Umkreisradius $r$ besteht aus $n$ gleichschenkligen Dreiecken. Je mehr Ecken es hat, desto mehr gleicht es dem Kreis: $G$ nähert sich $\pi r^2$ und $u$ nähert sich $2\pi r$ . Das Prisma wird dabei immer mehr zum Zylinder.

Ausprobieren

Drücke Schichten stapeln und beobachte die Rechnung im Bild: Wie hängt das Volumen von der Anzahl der Schichten ab?
Verdopple die Körperhöhe $h$ . Was passiert mit $V$ ? Verdopple dann den Radius $r$ – warum wird das Volumen jetzt viermal so groß?
Wähle Oberfläche: abrollen und drücke Abrollen. Die farbige Startfläche zeigt, wann eine volle Umdrehung erreicht ist. Sechseckprisma abrollen
Erhöhe die Eckenzahl $n$ und schalte den Vergleichszylinder ein. Fast ein Zylinder
Rolle einen Zylinder ab: Die Länge des Rechtecks ist der Kreisumfang. Zylindernetz

Aufgaben

Aufgabe 1: Dreiecksprisma

Die Grundfläche eines Prismas ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite $g = 4\,\text{cm}$ und der Höhe $h_g = 3\,\text{cm}$ ; die Schenkel sind etwa $3{,}6\,\text{cm}$ lang. Das Prisma ist $h = 5\,\text{cm}$ hoch. Berechne Volumen und Oberfläche. Aufgabe laden

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$G = \tfrac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2$ , also $V = G \cdot h = 6\,\text{cm}^2 \cdot 5\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^3$ .

$u \approx 4\,\text{cm} + 2 \cdot 3{,}6\,\text{cm} \approx 11{,}2\,\text{cm}$ , $M = u \cdot h \approx 56\,\text{cm}^2$ und $O = 2 \cdot G + M \approx 12\,\text{cm}^2 + 56\,\text{cm}^2 = 68\,\text{cm}^2$ .

Aufgabe 2: Zylinder

Ein Zylinder hat den Radius $r = 2\,\text{cm}$ und die Höhe $h = 4\,\text{cm}$ . Berechne Volumen und Oberfläche. Aufgabe laden

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$V = \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 \cdot 4\,\text{cm} = 16\pi\,\text{cm}^3 \approx 50{,}27\,\text{cm}^3$

$O = 2 \cdot \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 + 2\pi \cdot 2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 8\pi\,\text{cm}^2 + 16\pi\,\text{cm}^2 = 24\pi\,\text{cm}^2 \approx 75{,}40\,\text{cm}^2$

Aufgabe 3: Das Sechseck

Beim regelmäßigen Sechseck ist jede Seite genau so lang wie der Umkreisradius. Begründe das. Berechne damit den Mantel eines Sechseckprismas mit $r = 2\,\text{cm}$ und $h = 4\,\text{cm}$ . Aufgabe laden

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Das Sechseck besteht aus sechs Dreiecken mit dem Winkel $360^\circ : 6 = 60^\circ$ an der Spitze. Zwei Seiten jedes Dreiecks sind Umkreisradien. Das Dreieck ist also gleichschenklig, und seine Basiswinkel sind gleich groß: $(180^\circ - 60^\circ) : 2 = 60^\circ$ . Es ist gleichseitig, die Sechseckseite ist so lang wie der Radius.

$u = 6 \cdot 2\,\text{cm} = 12\,\text{cm}$ , $M = u \cdot h = 12\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2$ . Abrollen zeigen

Aufgabe 4: Eine Getränkedose

Eine Dose hat den Durchmesser $7\,\text{cm}$ und die Höhe $11\,\text{cm}$ . Wie viel Papier braucht man (ohne Überlappung) für das Etikett, das den Mantel bedeckt? Passt ein halber Liter hinein?

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$M = 2\pi r \cdot h = \pi \cdot 7\,\text{cm} \cdot 11\,\text{cm} \approx 241{,}9\,\text{cm}^2$ .

$V = \pi \cdot (3{,}5\,\text{cm})^2 \cdot 11\,\text{cm} \approx 423{,}3\,\text{cm}^3 \approx 0{,}42\,\text{l}$ – ein halber Liter ( $500\,\text{cm}^3$ ) passt nicht hinein.

Aufgabe 5: Wann ist das Prisma fast ein Zylinder?

Ein Prisma mit regelmäßigem $n$ -Eck und ein Zylinder haben denselben Radius und dieselbe Höhe. Ab welcher Eckenzahl hat das Prisma mehr als $99\,\%$ des Zylindervolumens? Probiere mit der Simulation. Aufgabe laden

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Bei $n = 6$ sind es etwa $82{,}7\,\%$ , bei $n = 12$ etwa $95{,}5\,\%$ . Ab $n = 26$ Ecken sind es mehr als $99\,\%$ (bei $n = 25$ erst $98{,}95\,\%$ ). n = 26

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 8/9 (Kreis und Zylinder): Prismen und Zylinder mit Netz, Oberfläche und Volumen. Sinnvoll im Anschluss an die Kreisberechnung (siehe Simulation zur Kreiszahl π).
Zwei Zugänge: „Schichten stapeln“ begründet $V = G \cdot h$ (anschlussfähig an das Würfelzählen beim Quader), „Abrollen“ begründet $M = u \cdot h$ . Die Rechnung im Bild lässt sich unter Anzeige → Rechnung im Bild ausschalten (in Links: calc=0).
Häufige Stolpersteine:
- Mantel und Volumen werden verwechselt ( $u \cdot h$ statt $G \cdot h$ ) – auch bei den Einheiten $\text{cm}^2$ und $\text{cm}^3$ .
- Beim Zylinder wird mit dem Durchmesser statt mit dem Radius gerechnet.
- Bei der Oberfläche wird nur eine Grundfläche gezählt.
- Man erwartet, dass sich das Volumen beim doppelten Radius verdoppelt. Tatsächlich wird es viermal so groß.
Zur Darstellung: Beim Abrollen kippt das Prisma jeweils über eine Kante; der Zylinder rollt ohne zu rutschen, sodass sein Abdruck nach einer vollen Umdrehung genau $2\pi r$ lang ist. Das Dreieck ist gleichschenklig; die Länge der Schenkel wird berechnet und gerundet angezeigt.