Newton-Verfahren

Worum geht es?

Viele Gleichungen lassen sich nicht nach $x$ auflösen, zum Beispiel $x^3 - 2x - 5 = 0$ oder $\cos x = x$ . Das Newton-Verfahren bestimmt eine Nullstelle von $f$ näherungsweise – und zwar erstaunlich schnell:

Wähle einen Startwert $x_0$ in der Nähe der Nullstelle.
Gehe vom Punkt $(x_0 \mid 0)$ senkrecht zum Graphen und lege im Punkt $(x_0 \mid f(x_0))$ die Tangente an.
Der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$ -Achse ist der neue Näherungswert $x_1$ .
Wiederhole das mit $x_1$ , $x_2$ , … (Iteration).

Woher kommt die Formel? Das Lot, die $x$ -Achse und die Tangente bilden ein Steigungsdreieck mit der senkrechten Kathete $f(x_n)$ und der waagrechten Kathete $x_n - x_{n+1}$ . Die Steigung der Tangente ist $f'(x_n)$ , also

$f'(x_n) = \frac{f(x_n)}{x_n - x_{n+1}} \quad\Longrightarrow\quad x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$

Beispiel: $f(x) = x^2 - 2$ , $f'(x) = 2x$ , $x_0 = 1$ : $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = 1{,}5$ , $\;x_2 = 1{,}5 - \frac{0{,}25}{3} = \frac{17}{12} \approx 1{,}416667$ , $\;x_3 = \frac{577}{408} \approx 1{,}4142157$ – und $\sqrt 2 = 1{,}41421356\ldots$

Newton = Heron: Für $f(x) = x^2 - 2$ gilt $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$ . Das ist genau das Heron-Verfahren: der Mittelwert aus $x_n$ und $2 : x_n$ .

Wie schnell? In der Nähe einer einfachen Nullstelle $x^*$ wird der Fehler $e_n = |x_n - x^*|$ in jedem Schritt ungefähr quadriert: $e_{n+1} \approx C \cdot e_n^2$ (für $x^2 - 2$ ist $C = \frac{1}{2\sqrt 2} \approx 0{,}354$ ). Deshalb verdoppelt sich die Anzahl der richtigen Stellen ungefähr – in der Tabelle für $\sqrt 2$ : $0 \to 2 \to 5 \to 11$ . Man spricht von quadratischer Konvergenz. Der Grund: Aus der Nähe (Lupe!) sieht der Graph fast aus wie seine Tangente.

Wann hört man auf? Man rechnet so lange, bis sich zwei aufeinanderfolgende Näherungswerte in den gewünschten Nachkommastellen nicht mehr unterscheiden, also $|x_{n+1} - x_n|$ klein genug ist (Abbruchkriterium). Zur Probe setzt man den Wert in $f$ ein: $f(x_n)$ muss nahe $0$ sein. Die Simulation hält beim Abspielen an, sobald sich nichts mehr ändert.

Das Verfahren kann scheitern:

Waagrechte Tangente ( $f'(x_n) = 0$ ): Sie schneidet die $x$ -Achse nicht, in der Formel müsste man durch $0$ teilen.
Sprung: Nahe einem Extrempunkt ist die Tangente fast waagrecht – der nächste Wert landet weit weg, oft bei einer ganz anderen Nullstelle.
Zyklus: Die Werte springen endlos hin und her.
Doppelte Nullstelle: Berührt der Graph die $x$ -Achse nur, wird es langsam: Der Fehler halbiert sich bloß noch.

Ausprobieren

√2 mit x₀ = 1: Drücke „Nächster Schritt“ und verfolge die Animation: Lot, Tangente, Steigungsdreieck, neuer Punkt. Drücke dann „Alles abspielen“ und beobachte die fett gedruckten Stellen in der Tabelle.
Ab Schritt 2 erscheint die Lupe. Wie stark muss sie vergrößern, damit man Schritt 3 oder 4 noch sieht? Wie sieht der Graph in der Lupe aus?
Ziehe den Startwert $x_0$ oder tippe auf die $x$ -Achse. Was passiert bei $x_0 = 0$ , was bei negativen Startwerten?
Newtons Beispiel: Isaac Newton rechnete selbst mit $x^3 - 2x - 5$ . Nach wie vielen Schritten stimmen 8 Nachkommastellen? Und bei cos x = x, einer Gleichung, die keine Umformung löst?
Waagrechte Tangente: Warum gibt es hier keinen nächsten Wert? Verschiebe $x_0$ ein kleines Stück.
Sprung zur anderen Nullstelle: Der Startwert liegt neben der rechten Nullstelle – gefunden wird die linke. Die Farben auf der $x$ -Achse zeigen die Einzugsbereiche: wohin jeder Startwert führt. Die Buchstaben A, B, C unten im Bild gehören zu den Nullstellen von links nach rechts, „–“ heißt: keine Nullstelle.
Zyklus: Die Folge springt zwischen $0$ und $1$ hin und her. Welche Startwerte führen zur Nullstelle? Schalte „Einzugsbereiche färben“ ein.
Doppelte Nullstelle: Vergleiche die Tabelle mit der von $\sqrt 2$ . Was ist anders?

Aufgaben

Aufgabe 1: Zwei Schritte von Hand

Berechne für $f(x) = x^2 - 2$ mit $x_0 = 2$ die Näherungswerte $x_1$ und $x_2$ . Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$f'(x) = 2x$ . $x_1 = 2 - \frac{2}{4} = 1{,}5$ ; $x_2 = 1{,}5 - \frac{0{,}25}{3} = \frac{17}{12} \approx 1{,}41667$ . Mit Heron: $\frac12\left(2 + \frac22\right) = 1{,}5$ und $\frac12\left(1{,}5 + \frac{2}{1{,}5}\right) = \frac{17}{12}$ – dieselben Zahlen. Lösung zeigen

Aufgabe 2: Die Formel herleiten

Stelle die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(x_n \mid f(x_n))$ auf und berechne ihren Schnittpunkt mit der $x$ -Achse. Steigungsdreieck ansehen

Lösung anzeigen

$t(x) = f(x_n) + f'(x_n)\,(x - x_n)$ . Aus $t(x) = 0$ folgt $x - x_n = -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ , also $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ – vorausgesetzt $f'(x_n) \neq 0$ . Im Steigungsdreieck: Steigung $=$ Höhe $:$ Breite, also $f'(x_n) = \frac{f(x_n)}{x_n - x_{n+1}}$ .

Aufgabe 3: Newtons eigenes Beispiel

Bestimme die Nullstelle von $f(x) = x^3 - 2x - 5$ mit $x_0 = 2$ auf sechs Nachkommastellen. Aufgabe laden

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$f'(x) = 3x^2 - 2$ . $f(2) = -1$ , $f'(2) = 10$ , also $x_1 = 2 + 0{,}1 = 2{,}1$ . $f(2{,}1) = 9{,}261 - 4{,}2 - 5 = 0{,}061$ , $f'(2{,}1) = 11{,}23$ , also $x_2 = 2{,}1 - \frac{0{,}061}{11{,}23} \approx 2{,}094568$ . Ein weiterer Schritt liefert $x_3 \approx 2{,}0945515$ . Auch $x_4$ beginnt mit $2{,}094551$ – die sechs Nachkommastellen ändern sich nicht mehr. Die Nullstelle ist $x \approx 2{,}094551$ . Lösung zeigen

Aufgabe 4: cos x = x

Bestimme mit dem Newton-Verfahren eine Lösung von $\cos x = x$ auf vier Nachkommastellen ( $x_0 = 1$ , Bogenmaß!). Aufgabe laden

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$f(x) = \cos x - x$ , $f'(x) = -\sin x - 1$ . $f(1) \approx -0{,}4597$ , $f'(1) \approx -1{,}8415$ , also $x_1 \approx 1 - 0{,}2496 = 0{,}7504$ . Weiter $x_2 \approx 0{,}739113$ und $x_3 \approx 0{,}739085$ . $x_2$ und $x_3$ stimmen in vier Nachkommastellen überein. Ergebnis: $x \approx 0{,}7391$ . Lösung zeigen

Aufgabe 5: Warum scheitert es?

a) Für $f(x) = x^3 - 3x + 1$ und $x_0 = 1$ gibt es keinen Wert $x_1$ . b) Für $f(x) = x^3 - 2x + 2$ und $x_0 = 0$ erhält man $x_1 = 1$ , $x_2 = 0$ , … Erkläre beides mit einer Skizze. a) zeigen · b) zeigen

Lösung anzeigen

a) $f'(x) = 3x^2 - 3$ , also $f'(1) = 0$ : Bei $x = 1$ hat der Graph einen Tiefpunkt, die Tangente ist waagrecht und schneidet die $x$ -Achse nicht.

b) $f'(x) = 3x^2 - 2$ . $x_1 = 0 - \frac{2}{-2} = 1$ und $x_2 = 1 - \frac{1}{1} = 0$ . Die Tangente in $0$ trifft die Achse bei $1$ , die Tangente in $1$ trifft sie wieder bei $0$ – ein Zyklus. Ein Startwert links der Nullstelle, z. B. $x_0 = -2$ , funktioniert: $x_1 = -1{,}8$ , … $\to -1{,}769$ . Zeigen

Aufgabe 6: Wie schnell ist schnell?

Für $f(x) = x^2 - 2$ und $x_0 = 1$ ist $e_2 = \frac{17}{12} - \sqrt 2 \approx 0{,}00245$ . Schätze $e_3$ mit $e_{n+1} \approx \frac{e_n^2}{2\sqrt 2}$ und vergleiche mit der Tabelle. Wie verhält sich der Fehler bei der doppelten Nullstelle von $x^3 - 3x + 2$ ? Aufgabe laden

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$e_3 \approx \frac{0{,}00245^2}{2{,}828} \approx 2{,}1 \cdot 10^{-6}$ ; tatsächlich ist $\frac{577}{408} - \sqrt2 \approx 2{,}12 \cdot 10^{-6}$ . Der nächste Fehler liegt dann schon bei etwa $1{,}6 \cdot 10^{-12}$ . Bei $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$ ist dagegen $f'(1) = 0$ : Ab $x_0 = 2$ ( $x_1 = \frac{14}{9}$ ) halbiert sich der Fehler nur – $1 \to 0{,}56 \to 0{,}30 \to 0{,}16 \to \ldots$ √2 zeigen · Doppelte Nullstelle zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Oberstufe, Anwendung der Differentialrechnung bei der Untersuchung ganzrationaler Funktionen (Newton-Verfahren). Die Tangentengleichung wird vorausgesetzt. $\cos x = x$ eignet sich als Ausblick.
Herleitung entdecken lassen: Erst „Nächster Schritt“ mit ausgeschalteten Werten (show=0) zeigen, die Lernenden das Steigungsdreieck beschriften lassen und daraus die Formel gewinnen.
Heron und Tabellenkalkulation: Für $x^2 - 2$ entsteht genau das Heron-Verfahren aus der 9. Klasse. Das Verfahren in einer Tabellenkalkulation nachbauen, mit der Simulation vergleichen und anschließend mit dem Halbierungsverfahren (Bisektion) um die Wette rechnen.
Einzugsbereiche: Mit „Einzugsbereiche färben“ lässt sich untersuchen, warum Startwerte nahe den Extremstellen unberechenbar werden – gut als Projekt oder für Interessierte.
Häufige Stolpersteine:
- Vorzeichenfehler: Es heißt $x_n \mathbin{-} \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ ; bei negativem $f(x_n)$ oder $f'(x_n)$ hilft eine Klammer.
- Der Taschenrechner steht bei $\cos x$ im Gradmaß statt im Bogenmaß.
- Zu früh aufhören: Erst wenn sich zwei Näherungswerte in den gewünschten Stellen nicht mehr unterscheiden, ist das Ergebnis sicher. Bei einer doppelten Nullstelle ist auch das trügerisch, weil die Werte nur langsam näher rücken.
- „Das Verfahren klappt immer“ – waagrechte Tangente, Sprung und Zyklus zeigen, wie wichtig der Startwert ist.