Endliche und periodische Dezimalbrüche

Worum geht es?

Ein Bruch ist eine Division: $\frac{3}{8} = 3 : 8$. Bei der schriftlichen Division setzt man nach dem ganzzahligen Teil ein Komma und hängt an jeden Rest eine Null an:

Also ist $\frac{3}{8} = 0{,}375$. Weil irgendwann der Rest $0$ bleibt, ist das ein endlicher Dezimalbruch.

Bei $\frac{3}{7}$ bleibt nie der Rest $0$. Die Reste sind $3, 2, 6, 4, 5, 1$ – und dann wieder $3$. Ab hier wiederholt sich die ganze Rechnung, also auch die Ziffern. So entsteht ein periodischer Dezimalbruch. Die Ziffern, die sich wiederholen, heißen Periode und bekommen einen Periodenstrich:

Gelesen: „null Komma Periode vier zwei acht fünf sieben eins“. Beginnt die Periode nicht direkt nach dem Komma, heißen die Ziffern davor Vorperiode: $\frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6}$ („null Komma eins Periode sechs“). Man unterscheidet rein periodische ($0{,}\overline{3}$) und gemischt periodische Dezimalbrüche ($0{,}1\overline{6}$).

Warum muss sich etwas wiederholen? Beim Teilen durch $n$ ist jeder Rest kleiner als $n$. Außer $0$ gibt es also nur die Reste $1, 2, \ldots, n-1$. Spätestens nach $n - 1$ Schritten muss ein Rest zum zweiten Mal auftreten. Deshalb hat die Periode eines Bruchs mit dem Nenner $n$ höchstens $n - 1$ Ziffern. Der Restekreis zeigt das: Jeder Pfeil führt von einem Rest zum nächsten; der Weg endet bei $0$ oder läuft im Kreis.

Endlich oder periodisch – ohne zu rechnen: Man kürzt den Bruch vollständig und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.

• Kommen nur die Primfaktoren 2 und 5 vor, kann man auf $10$, $100$, $1000$, … erweitern; der Dezimalbruch ist endlich: $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0{,}375$.
• Kommt weder 2 noch 5 vor, ist er rein periodisch: $\frac{5}{11} = 0{,}\overline{45}$.
• Kommen 2 oder 5 und andere Primfaktoren vor, ist er gemischt periodisch: $\frac{5}{12} = 0{,}41\overline{6}$, denn $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.

Wichtig: erst kürzen! $\frac{3}{6}$ hat den Nenner $6 = 2 \cdot 3$, ist aber gleich $\frac{1}{2} = 0{,}5$.

Die Zahlenstrahl-Lupe zeigt, was eine Ziffer bedeutet: Die erste Nachkommastelle sagt, in welchem Zehntel zwischen zwei ganzen Zahlen der Bruch liegt. Vergrößert man dieses Zehntel zehnfach, liest man die Hundertstel ab – und so weiter.

Ausprobieren

1. Rechne 3/7 Schritt für Schritt mit „Nächste Stelle“. Notiere die Reste. Wann merkst du, dass sich die Ziffern wiederholen?
2. Vergleiche mit 3/8. Woran erkennst du am Rechenblatt, dass die Division aufgeht?
3. Bei 1/6 wiederholt sich der Rest $4$ sofort. Warum steht die $1$ nicht unter dem Periodenstrich?
4. Schau dir 1/13 mit allen Restepfeilen an. Tippe dann im Restekreis auf die $2$. Wie viele Kreisläufe gibt es bei $13$?
5. Vergleiche 1/17 mit 1/16. Der Nenner ist fast gleich – das Ergebnis ganz verschieden. Woran liegt das?
6. Öffne die Zahlenstrahl-Lupe für 1/3. Warum sieht jede Stufe gleich aus? Vergleiche mit der Lupe für 3/8.
7. In der Tafel aller Nenner sind die endlichen Brüche grün. Welche Nenner sind das? Stelle danach den Zähler 3 ein: Warum werden einige Kacheln grün?
8. Ist 22/7 gleich $\pi = 3{,}14159\ldots$? Ab welcher Stelle unterscheiden sie sich?

Aufgaben

Aufgabe 1: Erweitern auf eine Zehnerpotenz

Schreibe als Dezimalbruch, ohne schriftlich zu dividieren: a) $\frac{7}{20}$ b) $\frac{3}{16}$ c) $\frac{9}{12}$ Aufgabe b laden

Aufgabe 2: Endlich oder periodisch?

Entscheide nur mit den Primfaktoren des Nenners: $\frac{7}{40}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{9}{12}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{11}{22}$, $\frac{3}{14}$. Tafel für Zähler 3

Aufgabe 3: Schriftlich dividieren

Berechne $\frac{5}{12}$ schriftlich. Notiere alle Reste und gib das Ergebnis mit Periodenstrich an. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Zwei Kreisläufe

Berechne $\frac{1}{13}$ und $\frac{2}{13}$. Beide Perioden haben $6$ Ziffern. Warum nicht $12$, obwohl es $12$ Reste ungleich $0$ gibt?

Aufgabe 5: Zurück zum Bruch

a) Schreibe $0{,}35$ und $0{,}125$ als vollständig gekürzte Brüche. b) Es ist $\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}$ und $\frac{1}{99} = 0{,}\overline{01}$. Schreibe damit $0{,}\overline{4}$ und $0{,}\overline{36}$ als Brüche.

Aufgabe 6: Rekord (Knobelaufgabe)

Welcher Bruch mit einem Nenner bis $50$ hat die längste Periode? Begründe, warum sie nicht länger sein kann.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 6, Dezimalbrüche: Brüche als endliche oder periodische Dezimalbrüche, Umwandeln. Geeignet zur Erarbeitung (Schritt für Schritt mit show=0) und zur Vertiefung (Restekreis, Tafel). Die Primfaktorzerlegung aus der Simulation „Primfaktorzerlegung und Teilbarkeit“ wird hier angewendet.
• Zwei Ansichten: Schriftlich dividieren (Rechenblatt auf Karopapier, wahlweise mit Restekreis oder Zahlenstrahl-Lupe) und Welche Nenner? (alle Brüche $\frac{z}{n}$ mit $n \leq 50$ als farbige Kacheln, wahlweise mit Primfaktoren; weggekürzte Faktoren sind durchgestrichen).
• Begründen statt merken: Der Restekreis macht das Schubfachprinzip sichtbar: Es gibt nur endlich viele Reste, also muss sich einer wiederholen. Die Plaketten an den Resten zeigen, dass jeder Rest seine nächste Ziffer festlegt – deshalb wiederholen sich mit dem Rest auch die Ziffern.
• Zur Vertiefung: Die Länge der Vorperiode ist der größere der beiden Exponenten von $2$ und $5$ im gekürzten Nenner ($12 = 2^2 \cdot 3$ → $2$ Stellen). Das Umwandeln gemischt periodischer Dezimalbrüche in Brüche wird hier nicht behandelt.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Die Periode beginnt, sobald sich eine Ziffer wiederholt.“ – Bei $\frac{1}{17} = 0{,}0588\ldots$ kommt die $8$ doppelt vor, die Periode hat aber $16$ Ziffern. Entscheidend ist der Rest, nicht die Ziffer.
  • „$0{,}\overline{3}$ ist ungefähr $\frac{1}{3}$.“ – $0{,}\overline{3}$ ist genau $\frac{1}{3}$; nur $0{,}333$ ist gerundet. Taschenrechner zeigen gerundete Werte wie $0{,}6666666667$.
  • „Der Nenner $6$ enthält eine $2$, also ist $\frac{1}{6}$ endlich.“ – Es dürfen nur $2$ und $5$ vorkommen.
  • „$\frac{3}{6}$ ist periodisch, weil $6$ den Faktor $3$ hat.“ – Erst kürzen: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.