Einseitiger Signifikanztest: Fehler 1. und 2. Art

Worum geht es?

Ein bewährtes Medikament heilt $60\,\%$ der Patientinnen und Patienten. Ein neues soll besser sein. Man testet es an $n = 50$ Personen; $X$ ist die Anzahl der Geheilten. Ist $X$ „auffällig groß“, spricht das gegen die Annahme, das neue Medikament sei nicht besser.

Nullhypothese $H_0\colon p \le 0{,}6$ (das neue Medikament ist nicht besser), Gegenhypothese $H_1\colon p > 0{,}6$ .
Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ : So groß darf die Wahrscheinlichkeit höchstens sein, $H_0$ abzulehnen, obwohl $H_0$ stimmt.
Gerechnet wird im Grenzfall $p = 0{,}6$ , also mit $X \sim B(50;\,0{,}6)$ .

Gesucht ist der Ablehnungsbereich $\overline{A} = \{k;\,\dots;\,50\}$ mit dem kleinsten $k$ , für das $P(X \ge k) \le \alpha$ gilt:

P(X \ge 37) \approx 0{,}0280 \le 0{,}05, \qquad P(X \ge 36) \approx 0{,}0540 > 0{,}05.

Also $\overline{A} = \{37;\,\dots;\,50\}$ , Annahmebereich $A = \{0;\,\dots;\,36\}$ . Entscheidungsregel: Lehne $H_0$ ab, wenn $X \ge 37$ .

Zwei Fehlentscheidungen sind möglich:

	$H_0$ ist wahr	$H_1$ ist wahr
$H_0$ wird abgelehnt	Fehler 1. Art	richtig
$H_0$ wird nicht abgelehnt	richtig	Fehler 2. Art

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist hier höchstens $P(X \ge 37) \approx 2{,}8\,\%$ – das ist die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit, sie ist nie größer als $\alpha$ . Für den Fehler 2. Art muss man ein wahres $p_1$ aus $H_1$ annehmen. Für $p_1 = 0{,}75$ gilt

\beta = P_{0{,}75}(X \le 36) \approx 0{,}363, \qquad 1 - \beta \approx 0{,}637.

$1 - \beta$ heißt Macht (Güte) des Tests. Die Gütefunktion zeigt für jedes $p$ , wie wahrscheinlich der Test $H_0$ ablehnt. Bei einem linksseitigen Test ( $H_1\colon p < p_0$ ) liegt der Ablehnungsbereich links: größtes $k$ mit $P(X \le k) \le \alpha$ .

Wichtig: Wird $H_0$ nicht abgelehnt, ist $H_0$ damit nicht bewiesen – die Daten widersprechen ihr nur nicht deutlich genug.

Ausprobieren

Tippe im oberen Histogramm auf verschiedene Säulen: So stellst du den Beobachtungswert $x$ ein. Wann wird $H_0$ abgelehnt? Beispiel laden
Stelle $\alpha$ auf $1\,\%$ und auf $10\,\%$ . Wie wandert die Grenze, wie ändern sich die rote und die orange Fläche? α = 1 %
Drücke „p₁ wandern lassen“ und beobachte, wie $\beta$ schrumpft und der Punkt auf der Gütefunktion nach oben läuft.
Setze $p_1 = p_0$ . Was zeigt das untere Histogramm jetzt? Grenzfall
Stelle $p_1 = 0{,}68$ ein und vergleiche die Macht bei $n = 50$ und $n = 200$ . n = 50 · n = 200
Ziehe mit „100 Stichproben“ viele Stichproben mit $p_1 = p_0$ : Wie oft wird $H_0$ (fälschlich) abgelehnt? p₁ = p₀

Aufgaben

Aufgabe 1: Münze

Eine Münze wird $20$ -mal geworfen. Getestet wird $H_0\colon p \le 0{,}5$ gegen $H_1\colon p > 0{,}5$ ( $p$ : Wahrscheinlichkeit für Wappen) auf dem Niveau $5\,\%$ . Bestimme den Ablehnungsbereich. Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$P(X \ge 15) \approx 0{,}0207 \le 0{,}05$ , aber $P(X \ge 14) \approx 0{,}0577 > 0{,}05$ . Also $\overline{A} = \{15;\,\dots;\,20\}$ ; die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt etwa $2{,}1\,\%$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Fehler 2. Art

Beim Test aus Aufgabe 1 ist die Münze in Wirklichkeit gezinkt: $p = 0{,}7$ . Mit welcher Wahrscheinlichkeit bemerkt der Test das nicht? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$\beta = P_{0{,}7}(X \le 14) \approx 0{,}584$ . In mehr als der Hälfte der Fälle wird die gezinkte Münze nicht erkannt; die Macht beträgt nur $1 - \beta \approx 0{,}416$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Gezinkter Würfel

Ein Würfel wird $60$ -mal geworfen; $X$ ist die Anzahl der Sechsen. Getestet wird $H_0\colon p \le \frac{1}{6}$ auf dem Niveau $5\,\%$ . Es fallen $18$ Sechsen. Wie lautet die Entscheidung? Aufgabe laden

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$P(X \ge 16) \approx 0{,}0338 \le 0{,}05$ , $P(X \ge 15) \approx 0{,}0648 > 0{,}05$ , also $\overline{A} = \{16;\,\dots;\,60\}$ . Wegen $18 \in \overline{A}$ wird $H_0$ abgelehnt: Der Würfel ist auf dem $5\,\%$ -Niveau signifikant „sechsenlastig“ – bewiesen ist das nicht. Wäre der Würfel in Ordnung, würde der Test nur mit höchstens etwa $3{,}4\,\%$ Wahrscheinlichkeit so entscheiden. In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Linksseitig – Saatgut

Ein Händler verspricht, dass mindestens $90\,\%$ der Samen keimen. Ein Gärtner sät $100$ Samen und testet $H_0\colon p \ge 0{,}9$ gegen $H_1\colon p < 0{,}9$ ( $\alpha = 5\,\%$ ). Bestimme den Ablehnungsbereich. Es keimen $83$ Samen – Entscheidung? Aufgabe laden

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Größtes $k$ mit $P(X \le k) \le 0{,}05$ : $P(X \le 84) \approx 0{,}0399$ , $P(X \le 85) \approx 0{,}0726$ . Also $\overline{A} = \{0;\,\dots;\,84\}$ . Wegen $83 \in \overline{A}$ wird $H_0$ abgelehnt. In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Strenger oder sicherer?

Beim Medikamententest ( $n = 50$ , $p_0 = 0{,}6$ , $p_1 = 0{,}75$ ) wird $\alpha$ von $5\,\%$ auf $1\,\%$ verkleinert. Wie ändern sich Ablehnungsbereich und $\beta$ ? Begründe, warum man nicht beide Fehler gleichzeitig klein machen kann, ohne $n$ zu vergrößern. Aufgabe laden

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Bei $\alpha = 1\,\%$ : $P(X \ge 39) \approx 0{,}0057$ , $P(X \ge 38) \approx 0{,}0133$ , also $\overline{A} = \{39;\,\dots;\,50\}$ . Der Annahmebereich wird größer, deshalb steigt $\beta = P_{0{,}75}(X \le 38) \approx 0{,}618$ (vorher $0{,}363$ ). Wer seltener fälschlich ablehnt, lehnt insgesamt seltener ab – auch dann, wenn $H_1$ stimmt. Nur ein größeres $n$ macht beide Verteilungen schmaler und trennt sie besser. In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Oberstufe, einseitiger Signifikanztest – Einführung des Vorgehens und Vertiefung zu Fehlern 1. und 2. Art. Die Gütefunktion kann als Ausblick dienen.
Schreibweise: Die Simulation verwendet $H_0\colon p \le p_0$ bzw. $p \ge p_0$ und $\overline{A}$ für den Ablehnungsbereich; manche Bücher schreiben $H_0\colon p = p_0$ oder $K$ – die Rechnung ist dieselbe.
Simulation des Fehlers 1. Art: Mit $p_1 = p_0$ und „100 Stichproben“ lässt sich erleben, dass der Test etwa in $2{,}8\,\%$ der Fälle (tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha^\ast$ ) fälschlich ablehnt.
Häufige Stolpersteine:
- „ $H_0$ wurde nicht abgelehnt, also ist $H_0$ wahr.“ – Der Test liefert nur keinen ausreichenden Widerspruch.
- Der kritische Wert wird über $P(X = k) \le \alpha$ statt über die Summe $P(X \ge k)$ bestimmt.
- Beim Fehler 2. Art wird mit $p_0$ statt mit dem wahren $p_1$ gerechnet.
- Beim linksseitigen Test wird $P(X \ge k)$ statt $P(X \le k)$ betrachtet.