Brechung und Totalreflexion

Worum geht es?

Trifft Licht schräg auf die Grenzfläche zweier durchsichtiger Stoffe, wird es teilweise reflektiert und teilweise gebrochen, also abgeknickt. Alle Winkel misst man zum Lot, der Senkrechten auf der Grenzfläche. Für die Reflexion gilt $\alpha' = \alpha$, für die Brechung das Brechungsgesetz von Snellius:

Die Brechzahl $n$ sagt, wie stark das Licht im Stoff langsamer ist: $c = \frac{c_0}{n}$, in Wasser also $c = \frac{299\,792\,458\,\text{m/s}}{1{,}33} \approx 2{,}25 \cdot 10^8\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Luft hat genau genommen $n = 1{,}0003$; in der Schule und in der Simulation rechnet man mit $n = 1{,}00$. Für Glas nimmt die Simulation Kronglas mit $n = 1{,}52$ (oft wird auch mit $n \approx 1{,}5$ gerechnet). Beim Übergang in den optisch dichteren Stoff (größeres $n$) wird das Licht zum Lot hin gebrochen, sonst vom Lot weg. Mit Wellenfronten (Huygens) sieht man den Grund: Im dichteren Stoff rücken die Fronten enger zusammen ($\lambda_2 = \lambda_1 \cdot \frac{n_1}{n_2}$) und knicken an der Grenzfläche ab.

Trägt man $\sin\beta$ über $\sin\alpha$ auf, ergibt sich eine Ursprungsgerade mit der Steigung $\frac{n_1}{n_2}$ – so lässt sich eine unbekannte Brechzahl messen.

Totalreflexion: Vom dichteren in den dünneren Stoff gibt es einen Grenzwinkel $\alpha_G$ mit $\sin\alpha_G = \frac{n_2}{n_1}$: Wasser → Luft $48{,}8^\circ$, Glas → Luft $41{,}1^\circ$ (mit $n = 1{,}5$ gerechnet: $41{,}8^\circ$), Diamant → Luft $24{,}4^\circ$. Ist $\alpha > \alpha_G$, wird alles Licht reflektiert. Das nutzen Glasfasern, Umlenkprismen und geschliffene Diamanten.

Wie viel Licht reflektiert wird, beschreiben die Fresnel-Formeln. Bei senkrechtem Einfall auf Glas sind es $\left(\frac{1{,}52 - 1}{1{,}52 + 1}\right)^2 \approx 4{,}3\,\%$. Kurz vor dem Grenzwinkel steigt der Anteil steil auf $100\,\%$.

Ausprobieren

1. Ziehe den Laser über den Winkelmesser. Wann wird das Licht zum Lot hin gebrochen, wann vom Lot weg? Was passiert bei $\alpha = 0^\circ$? Senkrechter Einfall
2. Schalte die Wellenfronten ein. Wo liegen sie enger beieinander? Wellenfronten
3. Lass das Licht aus dem Glas kommen und vergrößere $\alpha$ langsam. Beobachte den Punkt im Diagramm $\beta$ über $\alpha$ – wo endet die Kurve? Snellius-Diagramm
4. Biege den Lichtleiter aus Plexiglas immer enger (am blauen Griff ziehen). Ab wann geht Licht verloren? Lichtleiter
5. Vergleiche den Brillanten aus Glas und aus Diamant. Diamant · Glas
6. Schicke weißes Licht durch ein Glasprisma. Welche Farbe wird am stärksten abgelenkt? Prisma
7. Miss an einer unbekannten Probe mindestens drei Wertepaare $(\alpha \mid \beta)$. Liegen die Punkte im Diagramm $\sin\beta$ über $\sin\alpha$ auf einer Ursprungsgeraden? Unbekannte Probe
8. Drehe den Laser an der planparallelen Platte. Bleibt der austretende Strahl parallel zum einfallenden? Wann ist der Versatz am größten? Platte

Aufgaben

Aufgabe 1: Brechungswinkel berechnen

Licht fällt aus Luft unter $\alpha = 40^\circ$ auf Wasser ($n = 1{,}33$). Berechne den Brechungswinkel. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Grenzwinkel

Berechne den Grenzwinkel der Totalreflexion für den Übergang Glas → Luft und prüfe ihn in der Simulation. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Unbekannter Stoff

Eine Gruppe misst an Probe 3: $\alpha = 30^\circ \to \beta = 20{,}0^\circ$, $\alpha = 50^\circ \to \beta = 31{,}5^\circ$, $\alpha = 70^\circ \to \beta = 39{,}5^\circ$. Bestimme die Brechzahl aus der Steigung von $\sin\beta$ über $\sin\alpha$. Selbst messen

Aufgabe 4: Reflexion an einer Glasscheibe

Wie viel Prozent des Lichts werden bei senkrechtem Einfall an einer Glasoberfläche reflektiert? Bei welchem Winkel ist das reflektierte Licht vollständig polarisiert (Brewster-Winkel $\tan\alpha_B = \frac{n_2}{n_1}$)?

Aufgabe 5: Glasfaser mit Mantel

Eine Faser hat einen Kern aus Glas ($n = 1{,}52$) und einen Mantel mit $n = 1{,}49$. Berechne den Grenzwinkel an der Wand und den größten Winkel $\theta_{max}$, unter dem Licht aus Luft eingekoppelt werden darf ($\sin\theta_{max} = \sqrt{n_K^2 - n_M^2}$).

Aufgabe 6: Der Fisch ist tiefer, als er aussieht

Ein Fisch schwimmt $1{,}00\,\text{m}$ tief. Wie tief scheint er, wenn man fast senkrecht von oben schaut? Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Optik in der Mittelstufe (Brechung, Totalreflexion), vertiefend mit Brechungsgesetz, Messreihe und Anwendungen; der genaue Ort im Lehrplan unterscheidet sich je nach Land. Die Messreihe zur unbekannten Probe passt gut vor oder nach einem echten Versuch mit der optischen Scheibe.
• Modell: Die Helligkeit der Strahlen folgt den Fresnel-Formeln für unpolarisiertes Licht. Glasfaser, Prisma und Brillant werden als 2D-Schnitt mit Strahlverfolgung gerechnet. Die Farbzerlegung nutzt für Kronglas die Cauchy-Formel – eine Näherung; die Farben liegen auf dem Schirm so eng, dass ein vergrößerter Ausschnitt gezeigt wird.
• Häufige Stolpersteine:
  • Winkel werden zur Grenzfläche statt zum Lot gemessen.
  • „Bei Totalreflexion wird das Licht verschluckt.“ – Es wird vollständig reflektiert; auch sonst wird immer ein kleiner Teil reflektiert.
  • „Totalreflexion gibt es auch von Luft nach Wasser.“ – Nur beim Übergang ins optisch dünnere Medium.
  • „Licht ist im Glas schneller, weil es dichter ist.“ – Es ist langsamer: $c = c_0/n$.