Linsen und Bildentstehung

Worum geht es?

Eine Sammellinse (konvex, in der Mitte dicker) bricht Licht, das parallel zur optischen Achse einfällt, so, dass es sich im Brennpunkt $F$ trifft. Der Abstand vom Brennpunkt zur Linsenmitte ist die Brennweite $f$. Eine Zerstreuungslinse (konkav, in der Mitte dünner) lässt paralleles Licht auseinanderlaufen, als käme es von einem Brennpunkt vor der Linse.

Bildkonstruktion. Von jedem Punkt eines Gegenstands geht Licht aus. Um den Bildpunkt der Pfeilspitze zu finden, genügen zwei von drei besonderen Strahlen (gebrochen wird vereinfacht an der Mittelebene der Linse):

• Parallelstrahl: läuft parallel zur Achse und wird zum Brennpunktstrahl – durch $F$ hinter der Linse.
• Mittelpunktstrahl: geht ungebrochen durch die Linsenmitte.
• Brennpunktstrahl: läuft durch $F$ vor der Linse und danach parallel zur Achse.

Schneiden sich die Strahlen hinter der Linse, entsteht ein reelles Bild – man kann es auf einem Schirm auffangen. Laufen sie auseinander, scheinen sie (rückwärts verlängert) von einem Punkt vor der Linse zu kommen: ein virtuelles Bild, das man nur beim Blick durch die Linse sieht.

Linsengleichung und Abbildungsmaßstab. Mit der Gegenstandsweite $g$, der Bildweite $b$, der Gegenstandsgröße $G$ und der Bildgröße $B$ gilt

Bei einem virtuellen Bild wird $b$ negativ, bei einer Zerstreuungslinse ist $f$ negativ. Die Brechkraft $D = \frac{1}{f}$ wird in Dioptrien angegeben: $1\,\text{dpt} = \frac{1}{\text{m}}$, eine Linse mit $f = 10\,\text{cm}$ hat $10\,\text{dpt}$.

Optische Bank. Mit Kerze, Linse und Schirm sieht man ein scharfes Bild nur, wenn der Schirm in der Bildweite steht. Davor oder dahinter trifft jedes Lichtbündel als Fleck auf den Schirm – das Bild wird unscharf. Eine kleine Blende macht die Bündel schmaler: Das Bild wird dunkler, bleibt aber über einen größeren Bereich scharf (Schärfentiefe).

Ausprobieren

1. Ziehe den Gegenstand langsam von weit weg bis an die Linse – oder drücke Abspielen. Wie verändern sich Lage, Größe und Richtung des Bildes?
2. Stelle den Gegenstand genau in die doppelte Brennweite. Was fällt dir am Bild auf? g = 2f
3. Was passiert, wenn der Gegenstand im Brennpunkt steht? Schalte das Lichtbündel ein. g = f
4. Rücke den Gegenstand innerhalb der Brennweite. Wo liegt jetzt das Bild? Lupe
5. Wechsle zur Zerstreuungslinse und verschiebe den Gegenstand. Kannst du ein reelles Bild erzeugen? Zerstreuungslinse
6. Schalte das Lichtbündel ein: Alle Strahlen von der Pfeilspitze treffen sich im Bildpunkt – nicht nur die drei Konstruktionsstrahlen. Lichtbündel
7. Schiebe auf der optischen Bank den Schirm, bis das Kerzenbild scharf ist. Prüfe mit der Linsengleichung. Optische Bank
8. Verkleinere die Blende. Wie ändern sich Helligkeit und Schärfe? Kleine Blende

Aufgaben

Aufgabe 1: Bild konstruieren und berechnen

Ein $G = 4\,\text{cm}$ großer Gegenstand steht $g = 25\,\text{cm}$ vor einer Sammellinse mit $f = 10\,\text{cm}$. Konstruiere das Bild und berechne $b$ und $B$. Welche Eigenschaften hat das Bild? Aufgabe laden

Aufgabe 2: Der Projektor

Ein Projektor hat ein Objektiv mit $f = 10\,\text{cm}$. Das Bild eines $3\,\text{cm}$ großen Dias soll auf einer Leinwand $b = 50\,\text{cm}$ hinter der Linse scharf erscheinen. Wie weit muss das Dia von der Linse entfernt sein, und wie groß wird das Bild? Aufgabe laden

Aufgabe 3: Die Lupe

Eine Lupe hat die Brennweite $f = 8\,\text{cm}$. Eine $3\,\text{cm}$ große Briefmarke liegt $6\,\text{cm}$ vor der Linse. Wo entsteht das Bild, und wie groß erscheint es? Aufgabe laden

Aufgabe 4: Scharfstellen bei der Kamera

Ein Kameraobjektiv hat $f = 5\,\text{cm}$. Wie weit muss der Sensor hinter der Linse sein, wenn der Gegenstand $50\,\text{cm}$ bzw. $20\,\text{cm}$ entfernt ist? Was muss man also beim Scharfstellen tun, wenn der Gegenstand näher kommt?

Aufgabe 5: Zerstreuungslinse

Ein $5\,\text{cm}$ großer Gegenstand steht $15\,\text{cm}$ vor einer Zerstreuungslinse mit $f = -10\,\text{cm}$. Berechne $b$ und $B$.

Aufgabe 6: Gleich groß

Zeige mit der Linsengleichung: Steht der Gegenstand in der doppelten Brennweite, entsteht das Bild ebenfalls in der doppelten Brennweite und ist gleich groß.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Optik in der Mittelstufe (Linsen, Bildentstehung, optische Geräte), etwa Klasse 8 bis 10. Teil 1 eignet sich zum Einführen und Üben der Bildkonstruktion, Teil 2 als Ersatz oder Vorbereitung für den Versuch auf der optischen Bank.
• Modell: dünne Linse, achsennahe Strahlen, keine Linsenfehler; gebrochen wird an der Mittelebene. Konstruktionsstrahlen dürfen die Mittelebene auch außerhalb der gezeichneten Linse treffen – sie dienen nur der Konstruktion. Die Zeichnung passt ihren Maßstab der Brennweite an.
• Vorzeichen: virtuelles Bild $b < 0$, Zerstreuungslinse $f < 0$; im Abbildungsmaßstab werden Beträge verwendet.
• Konstruktionsübungen: Unter „Anzeige“ lassen sich Bild und Strahlen ausblenden, die Ergebnisse mit _hide=1 verdecken.
• Optische Bank: Das Schirmbild entsteht aus den Lichtbündeln aller Kerzenpunkte (Unschärfekreis aus ähnlichen Dreiecken); als scharf gilt ein Unschärfekreis bis $3\,\text{mm}$. Die Blende verkleinert die wirksame Linsenöffnung.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Deckt man die halbe Linse ab, fehlt die Hälfte des Bildes.“ – Das ganze Bild bleibt, es wird nur dunkler (kleine Blende ausprobieren).
  • „Das Bild entsteht erst, wenn ein Schirm da ist.“ – Die Lichtbündel treffen sich auch ohne Schirm; der Schirm macht das Bild sichtbar.
  • „Es gibt nur die drei Konstruktionsstrahlen.“ – Sie sind Hilfsmittel; das Lichtbündel zeigt, dass alle Strahlen durch den Bildpunkt gehen.
  • „Ein virtuelles Bild kann man nicht sehen.“ – Man sieht es beim Blick durch die Linse, nur auffangen kann man es nicht.