Gleichförmige und beschleunigte Bewegung (t-s- und t-v-Diagramme)

Worum geht es?

Eine Bewegung beschreibt man mit dem Ort $s$ (gemessen an einem Maßband) zu jeder Zeit $t$ . Trägt man $s$ über $t$ auf, erhält man das t-s-Diagramm. Die Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich der Ort ändert:

v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \qquad 1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 3{,}6\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}

Gleichförmige Bewegung: Die Geschwindigkeit ist konstant. In gleichen Zeiten legt das Auto gleiche Strecken zurück:

s(t) = s_0 + v \cdot t

Im t-s-Diagramm entsteht eine Gerade – ihre Steigung ist die Geschwindigkeit. Im t-v-Diagramm ist es eine waagerechte Linie. Die Fläche unter dem t-v-Graphen (ein Rechteck $v \cdot t$ ) ist die Ortsänderung $\Delta s$ .

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Die Geschwindigkeit ändert sich in gleichen Zeiten um gleich viel. Die Beschleunigung ist

a = \frac{\Delta v}{\Delta t}, \qquad v(t) = v_0 + a \cdot t, \qquad s(t) = s_0 + v_0 \cdot t + \tfrac{1}{2}\, a \cdot t^2 .

Das t-v-Diagramm ist jetzt eine schräge Gerade mit der Steigung $a$ , das t-s-Diagramm eine Parabel. Die momentane Geschwindigkeit ist die Steigung der Tangente an die Parabel. Fährt das Auto aus dem Stand los, verhalten sich die Strecken in aufeinanderfolgenden gleichen Zeitabschnitten wie $1 : 3 : 5 : 7 : \ldots$ – das zeigt das Stroboskop.

Bremsen bis zum Stillstand: Bei der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und der Bremsverzögerung $|a|$ dauert das Bremsen $t_B = \frac{v_0}{|a|}$ , der Bremsweg ist $s_B = \frac{v_0^2}{2\,|a|}$ . Doppelte Geschwindigkeit bedeutet also vierfachen Bremsweg.

Ausprobieren

Drücke Losfahren und beobachte das Stroboskop: Bei gleichförmiger Bewegung sind die Abstände gleich groß. Vergleiche mit dem Steigungsdreieck im t-s-Diagramm.
Lass das Auto rückwärts fahren. Wie sehen jetzt t-s- und t-v-Diagramm aus? Rückwärts fahren
Fahre mit $a = 2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ an. Wie wachsen die Abstände im Stroboskop? Anfahren
Ziehe die Zeitmarke (Dreieck oben im t-s-Diagramm) hin und her. Vergleiche die Steigung der Tangente mit dem Wert im t-v-Diagramm.
Wähle den Fahrplan und ziehe die Eckpunkte des t-v-Graphen. Beobachte, wie sich das t-s-Diagramm verändert. Fahrplan
Schalte „Graphen schon vor der Fahrt zeigen“ aus und sage vorher, wie die Diagramme aussehen werden. Starte erst dann. Vorhersage

Aufgaben

Aufgabe 1: Strecke bei konstanter Geschwindigkeit

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Ein Auto fährt gleichförmig mit $54\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ . Welche Strecke legt es in $8\,\text{s}$ zurück?

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$54\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}} = 54 : 3{,}6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ , also $\Delta s = v \cdot \Delta t = 15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 8\,\text{s} = 120\,\text{m}$ . Das ist die Rechteckfläche unter dem t-v-Graphen.

Aufgabe 2: Diagramm ablesen

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Lade die Aufgabe und lies im t-s-Diagramm ab: Wo startet das Auto, wie schnell fährt es und wann kommt es an der Stelle $s = 0$ vorbei?

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Startort $s_0 = -50\,\text{m}$ . Nach $12\,\text{s}$ ist das Auto bei $100\,\text{m}$ , also $v = \frac{150\,\text{m}}{12\,\text{s}} = 12{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ . Bei $s = 0$ ist es nach $t = \frac{50\,\text{m}}{12{,}5\,\text{m/s}} = 4\,\text{s}$ (Schnittpunkt mit der t-Achse).

Aufgabe 3: Anfahren

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Ein Auto beschleunigt aus dem Stand gleichmäßig mit $a = 2{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ . Wie schnell ist es nach $6\,\text{s}$ , welche Strecke hat es dann zurückgelegt? Wie lange braucht es auf $100\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ ?

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$v = a \cdot t = 2{,}5 \cdot 6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ und $s = \tfrac12 \cdot 2{,}5 \cdot 6^2\,\text{m} = 45\,\text{m}$ (Dreiecksfläche unter dem t-v-Graphen). $100\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}} \approx 27{,}8\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ , also $t = \frac{27{,}8}{2{,}5}\,\text{s} \approx 11{,}1\,\text{s}$ .

Aufgabe 4: Bremsweg

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Ein Auto fährt mit $20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ( $72\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ ) und bremst mit $a = -5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ . Wie lang ist der Bremsweg? Wie lang wäre er bei doppelter Geschwindigkeit?

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$s_B = \frac{v_0^2}{2\,|a|} = \frac{(20\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 5\,\text{m/s}^2} = 40\,\text{m}$ nach $t_B = 4\,\text{s}$ . Bei $40\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ sind es $160\,\text{m}$ – der vierfache Bremsweg. Doppelte Geschwindigkeit

Aufgabe 5: Fahrplan auswerten

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Ein Auto fährt in $5\,\text{s}$ aus dem Stand auf $15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ , fährt dann $10\,\text{s}$ gleichförmig und bremst in $5\,\text{s}$ bis zum Stillstand. Berechne die Beschleunigungen, die Teilstrecken, die Gesamtstrecke und die Durchschnittsgeschwindigkeit.

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$a_1 = 3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ , $a_2 = 0$ , $a_3 = -3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ . Flächen unter dem t-v-Graphen: $37{,}5\,\text{m} + 150\,\text{m} + 37{,}5\,\text{m} = 225\,\text{m}$ . Durchschnittsgeschwindigkeit $\bar v = \frac{225\,\text{m}}{20\,\text{s}} = 11{,}25\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ .

Aufgabe 6: Weg oder Ortsänderung?

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Im Beispiel „Hin und zurück“ steht das Auto am Ende wieder am Start. Wie groß sind Ortsänderung und zurückgelegter Weg? Welche Beschleunigung hat das Auto im Umkehrpunkt bei $t = 8\,\text{s}$ ?

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Ortsänderung $\Delta s = 0$ (die Flächen über und unter der t-Achse heben sich auf), zurückgelegter Weg $4 \cdot 16\,\text{m} = 64\,\text{m}$ . Im Umkehrpunkt ist $v = 0$ , aber $a = -2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ – das Auto steht nur einen Augenblick.

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Gleichförmige Bewegung, Geschwindigkeit und t-s-Diagramm im Anfangsunterricht Mechanik (etwa Klasse 7/8); gleichmäßig beschleunigte Bewegung, t-v-Diagramm und Bremsweg in Klasse 9/10. Die Diagramme lassen sich einzeln ausblenden, das t-a-Diagramm z. B. für jüngere Klassen.
Bezeichnungen: Die Simulation nennt den Ort $s$ ; viele Lehrwerke schreiben $x$ und sprechen vom Zeit-Ort-Diagramm. Ortsänderung $\Delta s$ (mit Vorzeichen) und zurückgelegter Weg (immer positiv) werden unterschieden.
Modell: Das Auto wird als Massepunkt behandelt (weißer Messpunkt, Lot auf das Maßband); gezeichnet ist es größer als maßstäblich. Beim Bremsen hält es bei $v = 0$ an und fährt nicht von selbst rückwärts. Im Fahrplan ändert sich die Geschwindigkeit in jedem Abschnitt gleichmäßig; die Sprünge im t-a-Diagramm sind idealisiert.
Vorhersagen: Mit „Graphen schon vor der Fahrt zeigen“ aus und _hide=1 können Lernende die Diagramme erst skizzieren und dann überprüfen.
Häufige Stolpersteine:
- Das t-s-Diagramm wird als Bild der Bahn gelesen („das Auto fährt bergauf“).
- „Hoch im t-v-Diagramm heißt weit weg“ – tatsächlich zählt die Fläche unter dem Graphen.
- „Bei $v = 0$ ist auch $a = 0$ “ – im Umkehrpunkt (Aufgabe 6) stimmt das nicht.
- Steigung und Wert werden verwechselt: Ein flacher, aber hoher t-s-Graph bedeutet langsam, nicht schnell.