Kräfte addieren und zerlegen

Worum geht es?

Eine Kraft hat einen Betrag (in Newton), eine Richtung und einen Angriffspunkt. Man zeichnet sie als Kraftpfeil: Die Länge gibt den Betrag an (z. B. $1\,\text{cm} \mathrel{\widehat{=}} 1\,\text{N}$ ), die Pfeilspitze die Richtung.

Greifen mehrere Kräfte am selben Punkt an, kann man sie durch eine Kraft mit derselben Wirkung ersetzen, die Resultierende (Ersatzkraft) $F_R$ .

Gleiche Richtung: $F_R = F_1 + F_2$ .
Entgegengesetzte Richtung: $F_R$ = größere minus kleinere Kraft, also z. B. $F_R = F_1 - F_2$ für $F_1 > F_2$ . $F_R$ zeigt in Richtung der größeren Kraft. Sind beide gleich groß, ist $F_R = 0\,\text{N}$ .
Beliebige Richtungen – Kräfteparallelogramm: Man ergänzt die beiden Kraftpfeile zu einem Parallelogramm. Die Diagonale vom Angriffspunkt aus ist die Resultierende.
Kräfte aneinanderhängen: Gleichwertig ist es, die Pfeile parallel zu verschieben und Fuß an Spitze zu hängen. $F_R$ reicht vom Anfang des ersten bis zur Spitze des letzten Pfeils. Die Reihenfolge ist egal, so lassen sich auch drei und mehr Kräfte addieren (Krafteck).

Stehen zwei Kräfte senkrecht aufeinander, liefert der Satz des Pythagoras den Betrag:

F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \qquad \text{z. B. } \sqrt{(4\,\text{N})^2 + (3\,\text{N})^2} = 5\,\text{N}

Allgemein gilt für den Winkel $\gamma$ zwischen den Kräften $F_R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2\,F_1 F_2 \cos\gamma$ . Kräfte addiert man also wie Pfeile, nicht wie Zahlen: $4\,\text{N}$ und $3\,\text{N}$ ergeben je nach Richtung alles zwischen $1\,\text{N}$ und $7\,\text{N}$ .

Kräftegleichgewicht: Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Resultierende aller Kräfte null ist. Die Gegenkraft, die zwei Kräften das Gleichgewicht hält, ist genauso groß wie $F_R$ , zeigt aber in die Gegenrichtung. Hängt man alle Kräfte aneinander, schließt sich das Krafteck.

Kraft zerlegen: Umgekehrt kann man eine Kraft in zwei Komponenten entlang vorgegebener Richtungen zerlegen. Dazu zieht man durch die Pfeilspitze Parallelen zu den beiden Richtungen. Für senkrechte Richtungen gilt $F_1 = F \cdot \cos\alpha$ und $F_2 = F \cdot \sin\alpha$ . Dabei ist $\alpha$ der Winkel zwischen $F$ und Richtung 1. Die Komponenten können zusammen größer sein als die Kraft selbst!

Lampe an zwei Seilen: Die beiden Seilkräfte müssen zusammen der Gewichtskraft $F_G$ das Gleichgewicht halten. Laufen beide Seile unter dem Winkel $\alpha$ gegen die Waagerechte, trägt jedes Seil mit seinem senkrechten Anteil die halbe Last:

2 \cdot F_S \cdot \sin\alpha = F_G \qquad\Longrightarrow\qquad F_S = \frac{F_G}{2 \cdot \sin\alpha}

Bei $\alpha = 30^\circ$ ist jede Seilkraft genau so groß wie $F_G$ , bei flachen Seilen um ein Vielfaches größer. Eine Wäscheleine mit Wäsche lässt sich deshalb nie ganz gerade spannen.

Ausprobieren

Ziehe die Pfeilspitzen von $F_1$ und $F_2$ . Wann ist die Resultierende am größten, wann am kleinsten? Gleiche Richtung · Entgegengesetzt
Blende das Ergebnis aus, konstruiere die Resultierende im Heft und drücke dann Konstruieren. Ohne Ergebnis
Hänge drei Kräfte aneinander. Ändert sich die Resultierende, wenn du die Reihenfolge der Kräfte vertauschst? Drei Kräfte
Schalte die Gegenkraft ein. Wie liegt sie im Kräfteparallelogramm, wie im Krafteck? Gegenkraft · Krafteck
Zerlege eine Kraft in zwei Richtungen und drehe die Richtungen auseinander. Zerlegen · Fast entgegengesetzte Richtungen
Ziehe die Lampe nach oben und beobachte Federwaagen und Diagramm. Lampe · Wäscheleine

Aufgaben

Aufgabe 1: Senkrecht aufeinander

Zwei Kräfte $F_1 = 6\,\text{N}$ (nach rechts) und $F_2 = 8\,\text{N}$ (nach oben) greifen am selben Punkt an. Bestimme die Resultierende zeichnerisch und rechnerisch. Aufgabe laden

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$F_R = \sqrt{(6\,\text{N})^2 + (8\,\text{N})^2} = 10\,\text{N}$ , etwa $53^\circ$ gegen die Waagerechte. Lösung zeigen

Aufgabe 2: Zwei Schlepper

Zwei Schlepper ziehen ein Schiff mit je $5\,\text{kN}$ , unter $30^\circ$ nach links und rechts von der Fahrtrichtung. Wie groß ist die Zugkraft in Fahrtrichtung? (In der Simulation: $1\,\text{N} \mathrel{\widehat{=}} 1\,\text{kN}$ ) Aufgabe laden

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Das Parallelogramm ist eine Raute. $F_R = 2 \cdot 5\,\text{kN} \cdot \cos 30^\circ \approx 8{,}7\,\text{kN}$ – weniger als $10\,\text{kN}$ , weil die Seitenanteile sich aufheben. Lösung zeigen

Aufgabe 3: Gleichgewicht

Auf einen Ring wirken $F_1 = 4\,\text{N}$ nach rechts und $F_2 = 3\,\text{N}$ nach oben. Welche dritte Kraft hält den Ring im Gleichgewicht? Stelle sie in der Simulation ein. Aufgabe laden

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Die Gegenkraft zur Resultierenden: $5\,\text{N}$ , Richtung $180^\circ + 37^\circ = 217^\circ$ , also $-143^\circ$ (nach links unten). Dann schließt sich das Krafteck. Lösung zeigen

Aufgabe 4: Kraft zerlegen

Ein Schlitten wird mit $8\,\text{N}$ an einer Schnur gezogen, die $30^\circ$ gegen die Waagerechte ansteigt. Welcher Anteil zieht den Schlitten vorwärts, welcher hebt ihn an? Aufgabe laden

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Vorwärts: $8\,\text{N} \cdot \cos 30^\circ \approx 6{,}9\,\text{N}$ , nach oben: $8\,\text{N} \cdot \sin 30^\circ = 4\,\text{N}$ . Lösung zeigen

Aufgabe 5: Lampe

Eine Lampe mit $m = 2\,\text{kg}$ hängt an zwei Seilen, die $10^\circ$ gegen die Waagerechte geneigt sind. Wie groß ist die Kraft in jedem Seil? Aufgabe laden

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$F_G = 2\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \approx 19{,}6\,\text{N}$ , also $F_S = \frac{19{,}6\,\text{N}}{2 \cdot \sin 10^\circ} \approx 56{,}5\,\text{N}$ – fast das Dreifache der Gewichtskraft. Lösung zeigen

Aufgabe 6: Straff gespannt

Bei welchem Seilwinkel ist jede Seilkraft so groß wie die Gewichtskraft? Warum reißt eine straff gespannte Wäscheleine eher als eine durchhängende?

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$F_S = F_G$ gilt für $\sin\alpha = \tfrac12$ , also $\alpha = 30^\circ$ . Je flacher die Leine, desto kleiner $\sin\alpha$ und desto größer die Seilkraft. Bei $5^\circ$ ist sie schon fast sechsmal so groß wie die Gewichtskraft der Wäsche. Wäscheleine

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Kraft als gerichtete Größe, Kräfteaddition und -zerlegung, Kräftegleichgewicht (Klasse 8–10). Ohne Trigonometrie lässt sich alles zeichnerisch mit Maßstab lösen; das Karoraster zeigt den Maßstab („1 Kästchen ≙ … N“). Pythagoras, Sinus und Kosinus erscheinen in den Ergebnissen für höhere Klassen.
Aufgabenmodus: Mit res=0 werden Parallelogramm, Krafteck und Komponenten ausgeblendet; Konstruieren bzw. Zerlegen zeigt die Konstruktion Schritt für Schritt. _hide=1 verdeckt zusätzlich die Zahlenwerte unter den Ergebnissen, vals=0 die Beträge an den Pfeilen und die Anzeigen der Federwaagen.
Richtungen werden als Winkel gegen die Waagerechte nach rechts angegeben (gegen den Uhrzeigersinn positiv, $-180^\circ$ bis $180^\circ$ ). Beim Ziehen rasten Winkel auf Vielfache von $15^\circ$ und Beträge auf halbe Newton ein.
Modell Lampe/Wäscheleine: Seile und Federwaagen sind masselos, die Last hängt in der Mitte zwischen gleich hohen Aufhängepunkten. Die Federwaagen haben einen Messbereich von $100\,\text{N}$ . Bei sehr steilen Seilen rücken die Aufhängepunkte in der Zeichnung zusammen, damit die Lampe in der Szene bleibt; der Winkel stimmt immer.
Häufige Stolpersteine:
- „Kräfte addieren sich immer zu $F_1 + F_2$ .“ – nur bei gleicher Richtung.
- „Die Resultierende ist eine zusätzliche Kraft.“ – Sie ersetzt die Einzelkräfte, sie wirkt nicht zusätzlich.
- „Komponenten sind immer kleiner als die Kraft.“ – Bei fast entgegengesetzten Richtungen werden sie sehr groß.
- „Ein straff gespanntes Seil trägt mehr.“ – Es wird stärker belastet; die Seilkraft wächst, je flacher das Seil ist.