Elektromagnetische Induktion

Worum geht es?

Ändert sich das Magnetfeld, das eine Spule durchsetzt, entsteht an ihren Enden eine Spannung: elektromagnetische Induktion. Entscheidend ist der magnetische Fluss

\Phi = B \cdot A \cdot \cos\varphi ,

also die Flussdichte $B$ mal die Fläche $A$ , die das Feld senkrecht durchsetzt ( $\varphi$ ist der Winkel zwischen Feld und Flächennormale). Das Induktionsgesetz lautet

U_\text{ind} = -n \cdot \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}

mit der Windungszahl $n$ . Es kommt also nicht auf den Fluss selbst an, sondern darauf, wie schnell er sich ändert. Ruht alles, ist die Spannung null.

Den Fluss kann man auf drei Arten ändern – genau das zeigen die drei Versuche:

Magnet und Spule: Der Magnet wird bewegt, $B$ in der Spule ändert sich. Hineinschieben und Herausziehen geben Spannungen mit verschiedenem Vorzeichen; schneller bewegen und mehr Windungen geben mehr Spannung.
Leiterschleife im Feld: Ein Stab der Länge $l$ gleitet mit der Geschwindigkeit $v$ auf zwei Schienen durch ein homogenes Feld. Die eingeschlossene Fläche $A = l \cdot x$ wächst um $l \cdot v$ pro Sekunde, also $U = B \cdot l \cdot v .$ Dasselbe Ergebnis folgt aus der Lorentzkraft auf die Elektronen im bewegten Stab.
Generator: Eine Spule dreht sich mit der Frequenz $f$ im Feld. Der Winkel ändert sich gleichmäßig, $\Phi = B \cdot A \cdot \cos(\omega t)$ mit $\omega = 2\pi f$ , und es entsteht eine Wechselspannung $U(t) = \hat U \cdot \sin(\omega t), \qquad \hat U = n \cdot B \cdot A \cdot \omega .$ Die Spannung ist am größten, wenn die Spulenfläche parallel zum Feld steht – dann ist der Fluss null, ändert sich aber am schnellsten.

Lenzsche Regel: Das Minuszeichen im Induktionsgesetz bedeutet, dass der Induktionsstrom seiner Ursache entgegenwirkt. Nähert sich ein Nordpol, wird das Spulenende zum Nordpol und stößt den Magneten ab; der Stab auf den Schienen wird durch die Kraft $F = B \cdot I \cdot l$ gebremst. Deshalb muss man Arbeit verrichten – sie kommt als elektrische Energie im Stromkreis an.

Zur Darstellung: Der Generator läuft im Bild zehnfach verlangsamt, das Diagramm zeigt aber die echte Zeit. Beim Stab auf Schienen hat der Stromkreis im Modell den Widerstand $R = 2\,\Omega$ . Der Messbereich des Spannungsmessers stellt sich selbst ein. Magnet und Stab lassen sich auch mit der Tastatur bewegen: Bühne mit der Tabulatortaste auswählen, dann Eingabetaste – der Stab fährt dabei gleichmäßig mit der eingestellten Geschwindigkeit $v$ .

Ausprobieren

Beobachte Spannungsmesser und Diagramm, während der Magnet in die Spule fährt und wieder heraus. Wann ist die Spannung null? Beispiel laden
Schalte „automatisch“ aus und ziehe den Magneten selbst: langsam, schnell, gar nicht. Selbst ziehen
Verdreifache die Windungszahl. Was ändert sich? Dreifache Windungszahl
Beim Stab auf Schienen: Wie hängt die Spannung von $v$ , $l$ und $B$ ab? Achte auf die Pfeile für $v$ und $F$ . Stab auf Schienen
Beim Generator: In welcher Stellung der Spule ist die Spannung am größten? Vergleiche die Kurven von $U$ und $\Phi$ . Generator
Verdopple beim Generator die Drehfrequenz. Was passiert mit Periodendauer und Scheitelwert? Doppelte Frequenz

Aufgaben

Aufgabe 1: Bewegter Leiter

Aufgabe laden

Ein Stab der Länge $0{,}20\,\text{m}$ bewegt sich mit $2{,}0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ senkrecht durch ein Magnetfeld mit $B = 0{,}50\,\text{T}$ . Berechne die induzierte Spannung.

Lösung anzeigen

$U = B \cdot l \cdot v = 0{,}50\,\text{T} \cdot 0{,}20\,\text{m} \cdot 2{,}0\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 0{,}20\,\text{V}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Strom und bremsende Kraft

Der Stab aus Aufgabe 1 ist über einen Widerstand von $2{,}0\,\Omega$ geschlossen. Berechne Stromstärke, bremsende Kraft und die nötige mechanische Leistung. Vergleiche mit der elektrischen Leistung.

Lösung anzeigen

$I = \frac{U}{R} = 0{,}10\,\text{A}$ , $F = B \cdot I \cdot l = 0{,}50\,\text{T} \cdot 0{,}10\,\text{A} \cdot 0{,}20\,\text{m} = 0{,}010\,\text{N}$ . Mechanische Leistung $P = F \cdot v = 0{,}020\,\text{W}$ , elektrische Leistung $P = U \cdot I = 0{,}020\,\text{W}$ – die Energie bleibt erhalten.

Aufgabe 3: Generator

Aufgabe laden

Eine Spule mit $100$ Windungen und $A = 100\,\text{cm}^2$ dreht sich mit $f = 5\,\text{Hz}$ in einem Feld mit $B = 0{,}10\,\text{T}$ . Berechne Scheitelwert, Effektivwert und Periodendauer der Spannung.

Lösung anzeigen

$\omega = 2\pi \cdot 5\,\text{Hz} \approx 31{,}4\,\frac{1}{\text{s}}$ , $\hat U = n \cdot B \cdot A \cdot \omega = 100 \cdot 0{,}10\,\text{T} \cdot 0{,}010\,\text{m}^2 \cdot 31{,}4\,\frac{1}{\text{s}} \approx 3{,}14\,\text{V}$ , $U_\text{eff} = \frac{\hat U}{\sqrt 2} \approx 2{,}22\,\text{V}$ , $T = \frac{1}{f} = 0{,}2\,\text{s}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Doppelte Frequenz

Wie ändern sich Scheitelwert und Periodendauer, wenn sich der Generator aus Aufgabe 3 doppelt so schnell dreht?

Lösung anzeigen

$\hat U \sim \omega$ : Der Scheitelwert verdoppelt sich auf etwa $6{,}28\,\text{V}$ , die Periodendauer halbiert sich auf $0{,}1\,\text{s}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Lenzsche Regel

Ein Magnet wird mit dem Nordpol voran in eine Spule geschoben. Welcher Pol entsteht am Spulenende, das dem Magneten zugewandt ist? Was passiert, wenn man ihn wieder herauszieht? Magnet und Spule

Lösung anzeigen

Beim Hineinschieben entsteht dort ein Nordpol: Die Spule stößt den Magneten ab. Beim Herausziehen entsteht ein Südpol, der den Magneten anzieht. In beiden Fällen wird die Bewegung gebremst; die Spannung hat entgegengesetzte Vorzeichen.

Aufgabe 6: Feld einschalten

Eine Spule mit $500$ Windungen und $A = 20\,\text{cm}^2$ steht senkrecht zu einem Magnetfeld, das in $0{,}10\,\text{s}$ gleichmäßig von $0$ auf $0{,}20\,\text{T}$ ansteigt. Welche Spannung wird induziert?

Lösung anzeigen

$\Delta\Phi = 0{,}20\,\text{T} \cdot 20 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2 = 4{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{Wb}$ , $|U| = n \cdot \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 500 \cdot \frac{4{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{Wb}}{0{,}10\,\text{s}} = 2{,}0\,\text{V}$ .

Hier ändert sich die Flussdichte $B$ bei fester Fläche. Beim Stab auf den Schienen ist es umgekehrt: $B$ bleibt gleich, die Fläche $A$ wächst.

Aufgabe 7: Stellung der Spule

Aufgabe laden

Der Generator aus Aufgabe 3 dreht sich. Wie groß ist die Spannung in dem Moment, in dem die Flächennormale mit dem Feld den Winkel $\varphi = 30^\circ$ einschließt? Und bei $\varphi = 90^\circ$ ?

Lösung anzeigen

$U = \hat U \cdot \sin\varphi$ mit $\hat U \approx 3{,}14\,\text{V}$ : Bei $30^\circ$ ist $U \approx 3{,}14\,\text{V} \cdot 0{,}5 \approx 1{,}57\,\text{V}$ . Bei $90^\circ$ steht die Spulenfläche parallel zum Feld: Der Fluss ist null, ändert sich aber am schnellsten, also $U = \hat U \approx 3{,}14\,\text{V}$ . Im Bild erkennst du die Stellung am Pfeil der Flächennormale und an der Anzeige $\varphi$ .

Ideen für den Unterricht

Einsatz: in der Oberstufe beim Thema Induktion; die genaue Einordnung bitte am Lehrplan prüfen. Die drei Versuche passen zu den üblichen Freihandversuchen mit Stabmagnet, Leiterschaukel und Handgenerator.
Möglicher Ablauf: mit dem Magneten qualitativ beginnen (wann gibt es Spannung?), dann mit dem Stab auf Schienen $U = B \cdot l \cdot v$ quantitativ herleiten und zum allgemeinen Induktionsgesetz verallgemeinern, zum Schluss der Generator als Anwendung.
Modell: Feld des Stabmagneten auf der Spulenachse, dünne Spule; beim Generator homogenes Feld; Selbstinduktion und Rückwirkung auf die Bewegung werden nicht berechnet.
Häufige Stolpersteine:
- „Ein starker Magnet in der Spule erzeugt eine Spannung.“ – Nur die Änderung des Flusses zählt; ruht der Magnet, ist $U = 0$ .
- „Beim Generator ist die Spannung am größten, wenn die Spule senkrecht zum Feld steht.“ – Dann ist der Fluss maximal, ändert sich aber gerade nicht.
- Das Minuszeichen wird oft weggelassen; es steckt die Lenzsche Regel und damit die Energieerhaltung darin.
Weiterführend: Transformator, Wirbelströme (Wirbelstrombremse), Selbstinduktion, Wechselstromnetz.