Feldlinien von Punktladungen

Worum geht es?

Eine elektrische Ladung verändert den Raum um sich herum: Jede andere Ladung erfährt dort eine Kraft. Diesen Zustand nennt man elektrisches Feld. Gemessen wird es mit einer kleinen positiven Probeladung $q_0$ : Die Feldstärke ist die Kraft pro Ladung,

\vec E = \frac{\vec F}{q_0}, \qquad [E] = 1\,\frac{\text{N}}{\text{C}} = 1\,\frac{\text{V}}{\text{m}} .

Für eine Punktladung $Q$ folgt aus dem Coulombschen Gesetz im Abstand $r$

E = k \cdot \frac{|Q|}{r^2}, \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}99 \cdot 10^9\,\frac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{C}^2} .

Doppelter Abstand heißt also nur noch ein Viertel der Feldstärke. Das Feld zeigt bei positiver Ladung von ihr weg, bei negativer Ladung zu ihr hin. Direkt auf der Ladung ( $r = 0$ ) ist die Feldstärke nicht definiert; setzt du die Probeladung genau auf eine Ladung, zeigt die Simulation deshalb keinen Wert.

Kraft auf eine Ladung: Auf eine Ladung $q$ im Feld wirkt $F = q \cdot E$ . Ist $q$ positiv, zeigt die Kraft in Richtung der Feldlinien; ist $q$ negativ (zum Beispiel ein Elektron), zeigt sie genau entgegengesetzt. Die Probeladung in der Simulation ist immer positiv ( $q_0 = +1\,\text{nC}$ ).

Wirken mehrere Ladungen, addieren sich ihre Felder als Vektoren (Superposition). Der Kasten „Vektoraddition“ zeigt das: Die Einzelfelder $\vec E_1, \vec E_2, \dots$ werden aneinandergehängt, der orange Pfeil ist die Summe.

Feldlinien machen das Feld sichtbar:

Sie beginnen an positiven und enden an negativen Ladungen (oder im Unendlichen).
Die Feldstärke zeigt an jeder Stelle in Richtung der Feldlinie.
Wo die Linien dicht liegen, ist das Feld stark. Die Zahl der Linien ist hier proportional zur Ladung (8 Linien pro nC).
Feldlinien schneiden sich nie.

Äquipotentiallinien (grün gestrichelt) verbinden Punkte mit gleichem Potential $\varphi = \sum k \cdot Q_i / r_i$ . Sie stehen überall senkrecht auf den Feldlinien. Bewegt man eine Ladung entlang einer Äquipotentiallinie, wird keine Arbeit verrichtet.

Im Plattenkondensator ist das Feld zwischen den Platten homogen: überall gleich stark und gleich gerichtet, mit

E = \frac{U}{d} .

Die Äquipotentiallinien sind dort parallel zu den Platten und gleich weit voneinander entfernt.

Zur Darstellung: Die Farbe im Hintergrund zeigt die Feldstärke auf einer logarithmischen Skala (10 bis 100 000 N/C). Der Kraftpfeil wächst proportional zu $E$ und wird bei sehr starken Feldern gekappt (Zeichen ≫). Beim Kondensator sind Randeffekte vernachlässigt: außen ist kein Feld.

Ausprobieren

Ziehe die Probeladung um den Dipol herum. Wo ist das Feld am stärksten? In welche Richtung zeigt es auf der Mittelsenkrechten zwischen den beiden Ladungen? Dipol
Eine einzelne Ladung: Verdopple den Abstand der Probeladung von 10 cm auf 20 cm. Was passiert mit $E$ ? Einzelne Ladung
Zwei gleiche Ladungen: Suche die Stelle, an der das Feld null ist. Zwei gleiche Ladungen
Ungleiche Ladungen: Von der großen Ladung gehen dreimal so viele Linien aus. Wohin laufen die übrigen? +3 nC und −1 nC
Schalte die Äquipotentiallinien ein. Prüfe: Stehen sie überall senkrecht auf den Feldlinien? Mit Äquipotentiallinien
Plattenkondensator: Verschiebe die Probeladung zwischen den Platten. Ändert sich $E$ ? Plattenkondensator

Aufgaben

Aufgabe 1: Feld einer Punktladung

Eine Ladung $Q = 1{,}0\,\text{nC}$ sitzt im Ursprung. Berechne die Feldstärke im Abstand $10\,\text{cm}$ und im Abstand $20\,\text{cm}$ . Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$E = 8{,}99 \cdot 10^9\,\frac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \frac{1{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C}}{(0{,}10\,\text{m})^2} \approx 899\,\frac{\text{N}}{\text{C}}$ . Bei doppeltem Abstand ein Viertel davon: $E \approx 225\,\frac{\text{N}}{\text{C}}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Dipol

$Q_1 = +1\,\text{nC}$ bei $x = -10\,\text{cm}$ , $Q_2 = -1\,\text{nC}$ bei $x = +10\,\text{cm}$ . Bestimme Betrag und Richtung der Feldstärke in der Mitte und die Kraft auf $q_0 = 1\,\text{nC}$ . Aufgabe laden

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Jede Ladung liefert $899\,\frac{\text{N}}{\text{C}}$ . Beide Felder zeigen nach rechts (weg von $Q_1$ , hin zu $Q_2$ ), also $E \approx 1798\,\frac{\text{N}}{\text{C}}$ zur negativen Ladung hin. Kraft: $F = q_0 \cdot E \approx 1{,}80\,\mu\text{N}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Plattenkondensator

An einem Kondensator mit $d = 10\,\text{cm}$ liegen $U = 1000\,\text{V}$ . Wie groß sind Feldstärke und Kraft auf $q_0 = 1\,\text{nC}$ ? Welches Potential hat ein Punkt $5\,\text{cm}$ von der negativen Platte? Aufgabe laden

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$E = \frac{U}{d} = \frac{1000\,\text{V}}{0{,}10\,\text{m}} = 10\,000\,\frac{\text{V}}{\text{m}}$ , $F = q_0 \cdot E = 10\,\mu\text{N}$ . Potential: $\varphi = E \cdot s = 10\,000\,\frac{\text{V}}{\text{m}} \cdot 0{,}05\,\text{m} = 500\,\text{V}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Zwei gleiche Ladungen

Zwei Ladungen $+1\,\text{nC}$ sitzen bei $x = -10\,\text{cm}$ und $x = +10\,\text{cm}$ . Bestimme die Feldstärke im Punkt $(0 \mid 10\,\text{cm})$ über der Mitte. Wo ist das Feld null? Aufgabe laden

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Abstand zu jeder Ladung: $r = \sqrt{(0{,}10\,\text{m})^2 + (0{,}10\,\text{m})^2} \approx 0{,}141\,\text{m}$ , also $E_1 = E_2 = 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-9}}{0{,}02}\,\frac{\text{N}}{\text{C}} \approx 449\,\frac{\text{N}}{\text{C}}$ . Die waagerechten Anteile heben sich auf, die senkrechten addieren sich: $E = 2 \cdot 449\,\frac{\text{N}}{\text{C}} \cdot \frac{10\,\text{cm}}{14{,}1\,\text{cm}} \approx 636\,\frac{\text{N}}{\text{C}}$ , senkrecht nach oben (90°). In der Mitte zwischen den Ladungen ( $x = 0$ , $y = 0$ ) heben sich beide Felder ganz auf: Dort ist das Feld null (feldfreier Punkt). In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Feldfreier Punkt bei ungleichen Ladungen

$Q_1 = +1\,\text{nC}$ sitzt bei $x = -10\,\text{cm}$ , $Q_2 = +4\,\text{nC}$ bei $x = +14\,\text{cm}$ . An welcher Stelle zwischen den Ladungen ist das Feld null? Aufgabe laden

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Die Ladungen sind $24\,\text{cm}$ voneinander entfernt. Im Abstand $a$ von $Q_1$ gilt $\frac{k \cdot 1\,\text{nC}}{a^2} = \frac{k \cdot 4\,\text{nC}}{(24\,\text{cm} - a)^2}$ , also $24\,\text{cm} - a = 2a$ und $a = 8\,\text{cm}$ . Der feldfreie Punkt liegt bei $x = -2\,\text{cm}$ , näher an der kleineren Ladung. In der Simulation zeigen

Aufgabe 6: Ein Elektron im Kondensator

Statt der Probeladung befindet sich ein Elektron ( $q = -1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$ ) im Kondensator aus Aufgabe 3. Wie groß ist die Kraft, und in welche Richtung zeigt sie? Aufgabe laden

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$F = |q| \cdot E = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 10\,000\,\frac{\text{N}}{\text{C}} = 1{,}6 \cdot 10^{-15}\,\text{N}$ . Weil das Elektron negativ ist, zeigt die Kraft entgegen den Feldlinien, also zur positiven Platte hin. Der orange Pfeil der positiven Probeladung zeigt genau in die Gegenrichtung. In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Mit Grießkörnern in Öl oder Watteflocken zeigen, wie Feldlinienbilder im Experiment aussehen, dann hier vergleichen.
Die Vektoraddition zuerst von Hand mit zwei Ladungen zeichnen lassen und mit dem Kasten prüfen.
Typische Stolpersteine:
- „Feldlinien sind Bahnen, auf denen sich Ladungen bewegen.“ – Sie zeigen die Kraftrichtung; eine Ladung mit Anfangsgeschwindigkeit folgt ihnen im Allgemeinen nicht.
- „Zwischen zwei Feldlinien ist kein Feld.“ – Das Feld ist überall; die Linien sind nur eine Auswahl.
- „Im Kondensator ist das Feld in der Mitte schwächer.“ – Im idealen Kondensator ist es überall gleich.