Lorentzkraft und Fadenstrahlrohr

Worum geht es?

Bewegt sich eine Ladung $q$ mit der Geschwindigkeit $v$ senkrecht zu einem Magnetfeld $B$, wirkt auf sie die Lorentzkraft

Sie steht senkrecht auf $v$ und auf $B$. Bildet $v$ mit $B$ den Winkel $\alpha$, gilt allgemein $F = q \cdot v \cdot B \cdot \sin\alpha$. Fliegt die Ladung parallel zu den Feldlinien, wirkt also keine Kraft – ebenso ohne Feld ($B = 0$).

Richtung (Drei-Finger-Regel, „Ursache – Vermittlung – Wirkung“): Daumen in Bewegungsrichtung (Ursache), Zeigefinger in Feldrichtung (Vermittlung), dann zeigt der Mittelfinger in Richtung der Kraft (Wirkung).

• Für Elektronen (negative Ladung) nimmt man die linke Hand. Diese Regel zeigt die Simulation.
• Für positive Ladungen (und für die technische Stromrichtung) nimmt man die rechte Hand. Die Kraft zeigt dann genau in die andere Richtung.

Weil die Kraft immer senkrecht zur Bewegung wirkt, ändert sie nur die Richtung, nicht den Betrag der Geschwindigkeit: Die Elektronen laufen auf einem Kreis.

Zusammenhang mit dem Leiter im Magnetfeld: Auf einen stromdurchflossenen Leiter der Länge $l$ senkrecht zum Feld wirkt $F = I \cdot l \cdot B$ (Leiterschaukel). Das ist die Summe der Lorentzkräfte auf alle bewegten Ladungen im Leiter.

Im Fadenstrahlrohr ist eine Glaskugel mit wenig Gas gefüllt. Die Elektronen stoßen mit den Gasatomen zusammen und bringen sie zum Leuchten, so wird ihre Bahn sichtbar.

1. Beschleunigen: Eine Elektronenkanone beschleunigt die Elektronen mit der Spannung $U$. Aus $e \cdot U = \tfrac12 m v^2$ folgt

2. Magnetfeld: Zwei Helmholtzspulen (Windungszahl $n$, Radius $R$, Abstand $R$) erzeugen in der Mitte ein nahezu homogenes Feld

Hier ist $n = 130$, $R = 15\,\text{cm}$, also $B \approx 0{,}78\,\text{mT}$ pro Ampere.

3. Kreisbahn: Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft: $e \cdot v \cdot B = \frac{m v^2}{r}$. Damit ist

Aus $U$, $I$ und dem abgelesenen Radius lässt sich also die spezifische Ladung $e/m$ des Elektrons bestimmen. Der Literaturwert ist $e/m \approx 1{,}76 \cdot 10^{11}\,\frac{\text{C}}{\text{kg}}$.

Umlaufzeit: Für einen Umlauf braucht ein Elektron

$T$ hängt nicht von $v$ ab: Schnellere Elektronen laufen auf einem größeren Kreis, brauchen aber genauso lange.

Messen:

• Die waagerechte Messleiter beginnt an der Kanone. Ihre Marken liegen bei 2, 4, 6, 8 und 10 cm Durchmesser.
• Man stellt den Spulenstrom so ein, dass der Strahl genau eine Marke trifft (sie leuchtet dann auf), und nimmt den Messwert auf.
• Die Marke 2 cm erreicht der Strahl mit den Reglergrenzen nicht. Dafür bräuchte man bei 100 V etwa 4,3 A, der Regler geht nur bis 3 A.
• Trägt man $2U$ über $B^2 r^2$ auf, liegen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden mit der Steigung $e/m$.

Zur Darstellung: Das Magnetfeld zeigt in die Zeichenebene hinein (⊗). Die Spulen sind maßstäblich zur Glaskugel gezeichnet und daher am Rand abgeschnitten. Elektronen sind hier nicht relativistisch gerechnet; bei bis zu 300 V ist das sehr genau.

Ausprobieren

1. Erhöhe den Spulenstrom. Wie ändert sich der Kreis? Was passiert ohne Magnetfeld? Ohne Magnetfeld
2. Erhöhe die Beschleunigungsspannung bei gleichem Strom. Warum wird der Kreis größer? Beispiel
3. Prüfe die Richtung der Kraft mit der Linke-Hand-Regel am Austrittspunkt der Kanone: Das Elektron fliegt nach oben, das Feld zeigt in die Zeichenebene hinein, die Kraft zeigt nach rechts. Linke-Hand-Regel
4. Stelle den Strahl mit dem Knopf „Strahl auf nächste Marke einstellen“ auf eine Marke und nimm Messwerte bei verschiedenen Spannungen auf. Welche Steigung hat die Gerade? Messung
5. Stelle ein sehr starkes Feld ein: Wie klein wird der Kreis? Starkes Feld

Aufgaben

Aufgabe 1: Magnetfeld der Helmholtzspulen

Berechne die Flussdichte für $n = 130$, $R = 15\,\text{cm}$ und $I = 1{,}0\,\text{A}$. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Bahnradius

Elektronen werden mit $U = 200\,\text{V}$ beschleunigt und laufen in einem Feld mit $B = 1{,}0\,\text{mT}$. Berechne Geschwindigkeit und Bahnradius. Aufgabe laden

Aufgabe 3: e/m bestimmen

Bei $U = 250\,\text{V}$ trifft der Strahl die Marke 8 cm, wenn $I = 1{,}71\,\text{A}$ fließt. Bestimme $e/m$. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Umlaufzeit

Zeige mit $r = \frac{m \cdot v}{e \cdot B}$, dass die Umlaufzeit $T$ nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Berechne $T$ für $B = 1{,}0\,\text{mT}$. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Lorentzkraft und Gewichtskraft

Bei $U = 200\,\text{V}$ und $I = 1{,}4\,\text{A}$ ist $B \approx 1{,}09\,\text{mT}$ und $v \approx 8{,}39 \cdot 10^6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Berechne die Lorentzkraft auf ein Elektron und vergleiche sie mit seiner Gewichtskraft ($m = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$). Aufgabe laden

Aufgabe 6: Protonen statt Elektronen

Angenommen, im Rohr würden Protonen (positive Ladung $e$, Masse $1836$-mal so groß) mit derselben Spannung $U = 200\,\text{V}$ beschleunigt, bei $B \approx 1{,}09\,\text{mT}$. In welche Richtung werden sie abgelenkt, und wie groß wäre der Bahnradius? (Für Elektronen: $r \approx 4{,}37\,\text{cm}$.)

Ideen für den Unterricht

• Erst qualitativ (Kreis wird kleiner bei mehr Strom, größer bei mehr Spannung), dann die Formel für $r$ herleiten lassen.
• Die Messreihe von Hand aufnehmen und auswerten, danach mit „Messreihe automatisch“ vergleichen.
• Typische Stolpersteine:
  • „Die Lorentzkraft macht die Elektronen schneller.“ – Sie steht senkrecht zur Bewegung und ändert nur die Richtung.
  • Rechte statt linke Hand: Für Elektronen gilt die linke Hand. Mit der rechten Hand muss der Daumen gegen die Flugrichtung der Elektronen zeigen (technische Stromrichtung).
  • „Jede bewegte Ladung im Magnetfeld spürt eine Kraft.“ – Nur der Anteil der Bewegung senkrecht zu den Feldlinien zählt; parallel zum Feld ist $F = 0$.
  • Durchmesser und Radius verwechseln: Die Marken geben den Durchmesser an.