Kugeln, Geraden und Ebenen

Worum geht es?

Eine Kugel $K$ mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r$ besteht aus allen Punkten $X$, die von $M$ den Abstand $r$ haben: $|\overrightarrow{MX}| = r$. Quadriert ergibt das die Kugelgleichung in Vektor- und in Koordinatenform:

Für $M(1 \mid 2 \mid 3)$ und $r = 3$ lautet sie $(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 3)^2 = 9$.

Punktprobe: Man setzt einen Punkt $P$ in die linke Seite ein und vergleicht mit $r^2$. Kleiner heißt innerhalb, gleich heißt auf der Kugel, größer heißt außerhalb. Beispiel: $P(1 \mid 7 \mid 3)$ ergibt $0 + 25 + 0 = 25 > 9$, also liegt $P$ außerhalb.

Kugel und Ebene: Entscheidend ist der Abstand $d$ des Mittelpunkts von der Ebene $E:\ n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = c$ (Hessesche Normalform):

• $d > r$: kein gemeinsamer Punkt,
• $d = r$: $E$ berührt $K$ in genau einem Punkt (Tangentialebene),
• $d < r$: $E$ schneidet $K$ in einem Schnittkreis. Sein Mittelpunkt $M'$ ist der Lotfußpunkt von $M$ auf $E$, sein Radius folgt aus dem Satz des Pythagoras: $\rho = \sqrt{r^2 - d^2}$. Geht $E$ durch $M$, ist der Schnittkreis ein Großkreis mit $\rho = r$.

Kugel und Gerade: Man setzt $g:\ \vec x = \vec a + t \cdot \vec u$ in die Kugelgleichung ein und erhält eine quadratische Gleichung $At^2 + Bt + C = 0$. Ihre Diskriminante $D = B^2 - 4AC$ entscheidet: $D > 0$ Sekante (zwei Schnittpunkte), $D = 0$ Tangente (ein Berührpunkt), $D < 0$ Passante (kein gemeinsamer Punkt).

Tangentialebene: In einem Punkt $B$ der Kugel steht die Tangentialebene senkrecht auf dem Radius $\overrightarrow{MB}$. Dieser Vektor ist also ein Normalenvektor:

Ausprobieren

1. Ziehe den Punkt $P$ durch den Raum und beobachte die Punktprobe in der Tafel. Wann wird aus „$>$“ ein „$=$“? Punkt auf K
2. Ziehe den Mittelpunkt $M$ und den Radius (Griff rechts unten an der Kugel). Wie ändert sich die Koordinatenform?
3. Wähle „Kugel und Ebene“ und tippe auf Ebene durch die Kugel schieben. Der Schnittkreis wächst bis zum Großkreis und schrumpft wieder zu einem Punkt. Ebene laden
4. Lege die Ebene durch den Mittelpunkt. Wie groß ist $\rho$? Großkreis
5. Verschiebe bei „Kugel und Gerade“ die Gerade $x_3$-parallel immer weiter nach außen: Sekante, Tangente, Passante. Achte auf das Vorzeichen von $D$. Tangente · Passante
6. Ziehe bei „Tangentialebene“ den Punkt $B$ über die Kugel. Der rechte Winkel zwischen $\overrightarrow{MB}$ und der Ebene bleibt immer erhalten. Tangentialebene
7. Starte den Rundflug: Erst von allen Seiten sieht man, dass der Schnittkreis wirklich in der Ebene liegt.

Aufgaben

Aufgabe 1: Punktprobe

Gegeben ist die Kugel $K$ mit $M(1 \mid 2 \mid 3)$ und $r = 3$. Stelle zuerst selbst die Kugelgleichung auf (die Simulation zeigt sie zur Kontrolle) und prüfe dann, ob $P(1 \mid 2 \mid 6)$, $Q(2 \mid 2 \mid 3)$ und $R(5 \mid 2 \mid 3)$ innerhalb, auf oder außerhalb von $K$ liegen. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Schnittkreis

Die Ebene $E:\ x_3 = 5$ schneidet $K$. Berechne Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Berührende Ebenen

Für welche Werte von $c$ berührt die Ebene $x_3 = c$ die Kugel $K$? Gib die Berührpunkte an. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Gerade durch die Kugel

Bestimme die gemeinsamen Punkte von $K$ und $g:\ \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Tangentialebene

Zeige, dass $B(3 \mid 4 \mid 4)$ auf $K$ liegt, und bestimme die Tangentialebene in $B$ in Koordinatenform. Aufgabe laden

Aufgabe 6: Schräge Ebene

Untersuche die Lage von $E:\ 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 12$ zur Kugel $K$ und berechne gegebenenfalls Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises. Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Oberstufe, analytische Geometrie: die Kugel mit Kugelgleichung, Lage zu Ebenen und Geraden und Tangentialebene – Umfang und Gewichtung unterscheiden sich je nach Lehrplan. Geeignet als Einstieg (Kugel als Punktmenge) und zur Übung.
• Verbindung zu Bekanntem: Die Kugelgleichung ist der räumliche Abstand $|\overrightarrow{MX}|$ – wie die Kreisgleichung in der Ebene. Der Schnittkreis greift den Abstand Punkt–Ebene und den Satz des Pythagoras auf.
• Animation als Gesprächsanlass: Beim Durchschieben der Ebene kann die Klasse vorher vermuten, wie $\rho$ von $d$ abhängt (kein linearer Zusammenhang, sondern ein Viertelkreis).
• Häufige Stolpersteine:
  • In der Kugelgleichung werden die Vorzeichen verwechselt: Zu $M(1 \mid -2 \mid 3)$ gehört $(x_2 + 2)^2$.
  • Rechts steht $r^2$, nicht $r$ – die Punktprobe vergleicht mit $r^2$.
  • Als Radius des Schnittkreises wird $r$ oder $r - d$ angegeben statt $\sqrt{r^2 - d^2}$.
  • Beim Abstand Punkt–Ebene wird vergessen, durch $|\vec n|$ zu teilen.
  • Bei der Tangentialebene wird $\vec b$ statt $\vec b - \vec m$ als Normalenvektor genommen.