Schiefe Ebene

Worum geht es?

Auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel $\alpha$ wirkt auf einen Körper die Gewichtskraft $F_G = m \cdot g$ senkrecht nach unten. Man zerlegt sie in zwei Komponenten:

• die Hangabtriebskraft $F_H$ parallel zur Ebene (hangabwärts) und
• die Normalkraft $F_N$ senkrecht zur Ebene, die den Körper auf die Unterlage drückt.

Das Kräftedreieck aus $F_G$, $F_H$ und $F_N$ ist ähnlich zum Dreieck aus Länge $l$, Höhe $h$ und Grundseite der Ebene. Deshalb gilt

Je steiler die Ebene, desto größer $F_H$ und desto kleiner $F_N$. Bei $\alpha = 30^\circ$ ist die Hangabtriebskraft genau halb so groß wie die Gewichtskraft.

Steigung in Prozent: Auf Verkehrsschildern steht die Steigung als Höhenunterschied pro waagerechter Strecke, also $\tan\alpha$. „12 %“ bedeutet $\tan\alpha = 0{,}12$ und damit $\alpha \approx 6{,}8^\circ$.

Reibung: Ein Klotz bleibt liegen, solange die Haftreibungskraft die Hangabtriebskraft ausgleichen kann. Sie ist höchstens

($\mu_H$: Haftreibungszahl). Ist $F_H$ größer, rutscht der Klotz. Beim Gleiten bremst die kleinere Gleitreibungskraft $F_R = \mu_G \cdot F_N$. Der Klotz gleitet dann gleichmäßig beschleunigt hinab mit

Grenzwinkel: Ohne weitere Kraft beginnt der Klotz zu rutschen, wenn $F_H = F_{R,\max}$ ist, also bei $\tan\alpha_G = \mu_H$. Die Masse spielt dafür keine Rolle. Misst man den Grenzwinkel, kann man die Haftreibungszahl bestimmen.

Kraftwandler: Ein Wagen rollt fast ohne Reibung. Um ihn auf der Ebene zu halten oder gleichmäßig hinaufzuziehen, braucht man nur die Kraft $F_H$ statt $F_G$ – dafür ist der Weg $l$ länger als die Höhe $h$. Es gilt die Goldene Regel der Mechanik: $F_H \cdot l = F_G \cdot h$.

Ausprobieren

1. Vergrößere den Neigungswinkel, indem du das obere Ende der Ebene ziehst. Beobachte $F_H$ und $F_N$ in der Szene und im Diagramm.
2. Drücke Loslassen bei $20^\circ$ und bei $35^\circ$. Holzklotz bei 35°
3. Finde für jedes Materialpaar den Grenzwinkel, ab dem der Klotz rutscht. Vergleiche mit dem Schnittpunkt von $F_H$ und $F_{R,\max}$ im Diagramm. Gummi auf Asphalt · Stahl auf Eis
4. Verdopple die Masse. Ändern sich der Grenzwinkel und die Beschleunigung? Masse 2 kg
5. Hänge den Kraftmesser an den Wagen und stelle die Zugkraft so ein, dass er stehen bleibt. Trage für verschiedene Winkel Messwerte ein. Wagen mit Kraftmesser
6. Ziehe den Holzklotz hinauf. Ab welcher Zugkraft setzt er sich in Bewegung? Hochziehen

Aufgaben

Aufgabe 1: Kräfte zerlegen

Ein Klotz mit $m = 2\,\text{kg}$ liegt auf einer Ebene mit $\alpha = 30^\circ$. Berechne $F_G$, $F_H$ und $F_N$. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Höhe und Länge

Eine Rampe ist $l = 1\,\text{m}$ lang und $h = 34\,\text{cm}$ hoch. Welche Kraft braucht man mindestens, um einen Wagen mit $1\,\text{kg}$ darauf zu halten (Reibung vernachlässigt)? Aufgabe laden

Aufgabe 3: Rutscht der Klotz?

Ein Holzklotz ($\mu_H = 0{,}5$) liegt auf einer Ebene mit $\alpha = 25^\circ$. Rutscht er von allein los? Aufgabe laden

Aufgabe 4: Beschleunigung

Wie stark beschleunigt der Holzklotz ($\mu_G = 0{,}3$) bei $\alpha = 35^\circ$? Wie lange braucht er für $40\,\text{cm}$? Aufgabe laden

Aufgabe 5: Reibungszahl messen

Ein Klotz aus unbekanntem Material beginnt bei $\alpha = 31^\circ$ zu rutschen. Wie groß ist die Haftreibungszahl? Prüfe mit eigenen Werten. Prüfen

Aufgabe 6: Hinaufziehen

Mit welcher Kraft muss man den Holzklotz ($m = 1\,\text{kg}$, $\mu_G = 0{,}3$) bei $\alpha = 20^\circ$ ziehen, damit er gleichmäßig hinaufgleitet? Warum braucht man zum Anfahren mehr? Aufgabe laden

Aufgabe 7: Steigung in Prozent

Ein Verkehrsschild warnt vor $12\,\%$ Steigung. Wie groß ist der Neigungswinkel? Welcher Anteil der Gewichtskraft eines Autos wirkt als Hangabtriebskraft?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Kraftzerlegung an der schiefen Ebene (zeichnerisch über das Kräftedreieck, mit $h/l$ oder trigonometrisch), Reibung und Grenzwinkel, schiefe Ebene als Kraftwandler (Klasse 8–10); die Bewegungsgleichung $a = g(\sin\alpha - \mu_G\cos\alpha)$ eher ab Klasse 10.
• Bezeichnungen: Die Komponente der Gewichtskraft senkrecht zur Ebene heißt hier Normalkraft $F_N$. Manche Lehrwerke unterscheiden davon die gleich große Kraft der Unterlage auf den Körper.
• Modell: Ebene $1\,\text{m}$ lang, $g = 9{,}81\,\tfrac{\text{N}}{\text{kg}}$. Die Reibungszahlen der Materialpaare sind Richtwerte; reale Werte hängen stark von Oberfläche, Feuchtigkeit und Sauberkeit ab. Der Wagen hat eine sehr kleine Rollreibung ($0{,}005$). Vor dem Loslassen hält die Hand den Körper; deshalb ist die angezeigte Haftreibung höchstens $F_{R,\max}$. Am unteren Ende hält ein Anschlag den Körper.
• Messreihe: Mit eingehängtem Kraftmesser lässt sich ein Messwert nur eintragen, wenn der Körper mit dieser Zugkraft liegen bleibt. Beim Wagen liegen die Messpunkte auf der Kurve $F_H(\alpha)$; beim Klotz gibt es wegen der Haftreibung einen ganzen Bereich von Haltekräften – ein guter Anlass zum Diskutieren.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Die Normalkraft ist immer gleich der Gewichtskraft.“ – Auf der schiefen Ebene ist sie kleiner: $F_N = F_G \cdot \cos\alpha$.
  • „Schwere Körper rutschen früher.“ – Der Grenzwinkel hängt nur von $\mu_H$ ab, nicht von der Masse.
  • „Die Reibungskraft ist immer $\mu \cdot F_N$.“ – Die Haftreibung ist nur so groß wie nötig, höchstens $\mu_H \cdot F_N$.
  • „Mit der schiefen Ebene spart man Arbeit.“ – Man spart Kraft, muss aber einen längeren Weg zurücklegen.