Freier Fall – Scitura

Worum geht es?

Lässt man einen Körper los, fällt er immer schneller. Ohne Luftwiderstand ist der freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Fallbeschleunigung $g$ (dem Ortsfaktor). In Mitteleuropa ist $g \approx 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ . Aus der Ruhe gelten die Fallgesetze

s = \tfrac{1}{2}\, g\, t^2 \qquad v = g \cdot t .

Daraus folgen für die Fallhöhe $h$ die Fallzeit und die Aufprallgeschwindigkeit

t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \qquad v = \sqrt{2\, g\, h}.

Umrechnen in km/h: Eine Stunde hat $3600\,\text{s}$ , ein Kilometer $1000\,\text{m}$ . Also gilt $1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 3{,}6\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ : Man multipliziert mit $3{,}6$ .

Stroboskop: Blitzt eine Lampe in gleichen Zeitabständen $\Delta t$ , sieht man die Kugel an mehreren Stellen. Die Abstände wachsen im Verhältnis $1 : 3 : 5 : 7 : \ldots$ – jeder Abstand ist um $g \cdot (\Delta t)^2$ größer als der vorige.

Masse spielt keine Rolle: Ohne Luft fallen eine schwere Kugel und eine leichte Feder gleich schnell. In Luft bremst der Luftwiderstand die Feder stark: Sie erreicht schnell eine kleine Endgeschwindigkeit und fällt dann fast gleichförmig. Auf dem Mond (ohne Luft) ließ ein Astronaut 1971 bei der Mission Apollo 15 einen Hammer und eine Feder fallen – beide kamen gleichzeitig unten an.

Andere Himmelskörper haben andere Ortsfaktoren: Mond $1{,}62\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ , Mars $3{,}71\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ , Jupiter $24{,}79\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ .

Reaktionszeit: Fängt man ein fallendes Lineal, kann man aus der Fallstrecke $s$ die Reaktionszeit berechnen: $t = \sqrt{\frac{2s}{g}}$ .

Ausprobieren

Drücke Fallen lassen und betrachte das Stroboskopbild. Lies die Abstände an der blauen Leiste ab: $1 : 3 : 5 : 7 : 9$ .
Ziehe die Kugel im Fallturm (oder den Punkt im $t$ - $s$ -Diagramm) und beobachte, wie sich Zeit und Geschwindigkeit ändern. Das Dreieck im $t$ - $v$ -Diagramm zeigt die Steigung $g$ , die Fläche unter der Geraden die Fallstrecke.
Wiederhole den Versuch auf dem Mond und auf dem Jupiter. Auf dem Mond
Drehe die Fallröhre um – einmal mit Luft, einmal luftleer. Fallröhre mit Luft · Fallröhre luftleer
Miss deine Reaktionszeit: Drücke Start und fange das Lineal (Tippen, Klick oder Leertaste). Mache mindestens fünf Versuche. Reaktionstest

Aufgaben

Aufgabe 1: Fallturm

Eine Kugel fällt aus $20\,\text{m}$ Höhe (ohne Luftwiderstand). Wie lange dauert der Fall, mit welcher Geschwindigkeit kommt sie unten an? Aufgabe laden

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$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20\,\text{m}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}} \approx 2{,}02\,\text{s}$ und $v = g \cdot t \approx 19{,}8\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 71\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .

Aufgabe 2: Stroboskopbild auswerten

Das Stroboskop blitzt alle $0{,}4\,\text{s}$ . Berechne die Abstände zwischen den ersten fünf Bildern und ihr Verhältnis. Aufgabe laden

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Orte: $s(0{,}4\,\text{s}) \approx 0{,}78\,\text{m}$ , $s(0{,}8\,\text{s}) \approx 3{,}14\,\text{m}$ , $s(1{,}2\,\text{s}) \approx 7{,}06\,\text{m}$ , $s(1{,}6\,\text{s}) \approx 12{,}56\,\text{m}$ . Abstände: $0{,}78\,\text{m}$ ; $2{,}35\,\text{m}$ ; $3{,}92\,\text{m}$ ; $5{,}49\,\text{m}$ – also $1 : 3 : 5 : 7$ . Jeder Abstand ist um $g \cdot (0{,}4\,\text{s})^2 \approx 1{,}57\,\text{m}$ größer als der vorige.

Aufgabe 3: Auf dem Mond

Wie lange fällt die Kugel auf dem Mond aus $20\,\text{m}$ ? Wie viel länger ist das als auf der Erde? Aufgabe laden

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$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{1{,}62}}\,\text{s} \approx 4{,}97\,\text{s}$ – etwa $\sqrt{9{,}81 / 1{,}62} \approx 2{,}5$ -mal so lange wie auf der Erde.

Aufgabe 4: Brunnentiefe

Ein Stein fällt in einen Brunnen und schlägt nach $2\,\text{s}$ auf dem Wasser auf. Wie tief ist der Brunnen (Luftwiderstand und Schalllaufzeit vernachlässigt)?

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$s = \tfrac12 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2\,\text{s})^2 \approx 19{,}6\,\text{m}$ . In der Simulation prüfen (nächster Reglerwert $19{,}5\,\text{m}$ , Fallzeit $1{,}99\,\text{s}$ )

Aufgabe 5: Reaktionszeit und Reaktionsweg

Jemand fängt das Lineal nach $18\,\text{cm}$ . Wie groß ist die Reaktionszeit? Welche Strecke fährt ein Auto mit $50\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ in dieser Zeit, bevor die Fahrerin überhaupt bremst?

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$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}18\,\text{m}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}} \approx 0{,}19\,\text{s}$ . Mit $50\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}} \approx 13{,}9\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ergibt sich ein Reaktionsweg von etwa $13{,}9\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}192\,\text{s} \approx 2{,}7\,\text{m}$ . Im Straßenverkehr rechnet man mit etwa $1\,\text{s}$ Reaktionszeit, weil man die Gefahr erst erkennen und den Fuß umsetzen muss.

Aufgabe 6: Feder und Kugel

Erkläre, warum die Feder in der Röhre mit Luft viel länger braucht, im luftleeren Rohr aber genauso schnell fällt wie die Kugel. Mit Luft · Luftleer

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Auf beide wirkt die Gewichtskraft; ohne Luft beschleunigen beide mit $g$ – unabhängig von der Masse. In Luft wirkt zusätzlich der Luftwiderstand. Er wächst mit der Geschwindigkeit und ist bei der leichten, großflächigen Feder schon bei etwa $0{,}6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ so groß wie ihre Gewichtskraft – danach wird sie nicht mehr schneller. Bei der schweren, kleinen Kugel spielt er auf $1{,}5\,\text{m}$ kaum eine Rolle.

Aufgabe 7: Apfel vom Baum

Ein Apfel fällt aus $5\,\text{m}$ Höhe vom Baum. Mit welcher Geschwindigkeit kommt er unten an? Gib sie in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ und in $\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ an. Aufgabe laden

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$v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 5\,\text{m}} = \sqrt{98{,}1}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 9{,}9\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ . Mal $3{,}6$ : $9{,}9 \cdot 3{,}6 \approx 36\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung und Fallgesetze (Klasse 9/10), historischer Bezug zu Galilei, Anwendung im Verkehr (Reaktionszeit). Die drei Experimente lassen sich einzeln über Links mit mode=… aufrufen.
Modell: Im Fallturm wird ohne Luftwiderstand gerechnet. In der Fallröhre wird der Luftwiderstand als proportional zu $v^2$ angenommen, mit Endgeschwindigkeiten von etwa $75\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (Stahlkugel, Ø $3\,\text{cm}$ ) und $0{,}6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (Feder) – das sind Näherungswerte. Das Schaukeln der Feder ist nur angedeutet. Jupiter hat keine feste Oberfläche; der Wert $24{,}79\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ gilt in Höhe der Wolkenobergrenze – der Fallturm dort ist ein Gedankenexperiment.
Reaktionstest: Das Lineal fällt nach einer zufälligen Wartezeit (1,2 bis 3,5 s). Bildschirm und Eingabegerät verzögern um einige Hundertstelsekunden; die gemessenen Zeiten liegen daher meist etwas über denen mit einem echten Lineal. Ein Vergleich mit einem echten Lineal (Partnerarbeit) bietet sich an – mit eingeschalteter ms-Skala wird das Lineal zum „Reaktionszeit-Lineal“.
Häufige Stolpersteine:
- „Schwere Körper fallen schneller.“ – nur der Luftwiderstand macht einen Unterschied.
- „In gleichen Zeiten fällt der Körper gleich weit.“ – Die Abstände im Stroboskopbild werden immer größer, und zwar jeweils um denselben Betrag $g \cdot (\Delta t)^2$ .
- „Auf dem Mond gibt es keine Schwerkraft.“ – sie ist nur etwa ein Sechstel so groß.
- „ $g$ ist eine Geschwindigkeit.“ – $g$ gibt an, um wie viel $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ die Geschwindigkeit pro Sekunde zunimmt.