Energieerhaltung (Achterbahn)

Worum geht es?

Ein Achterbahnwagen hat oben am Start Lageenergie (Höhenenergie). Rollt er hinunter, wird sie in Bewegungsenergie umgewandelt – und beim Hochfahren wieder zurück:

Ohne Reibung gilt der Energieerhaltungssatz: Die Summe bleibt an jeder Stelle gleich. Daraus folgt die Geschwindigkeit in jeder Höhe:

Die Masse kürzt sich heraus: Ein schwerer und ein leichter Wagen sind an jeder Stelle gleich schnell, nur ihre Energien sind verschieden. Ohne Reibung kehrt der Wagen genau in der Starthöhe um; über einen Hügel kommt er nur, wenn der Hügel niedriger als $h_0$ ist.

Mit Reibung wird ein Teil der Energie in innere Energie (Reibungswärme $W_\text{R}$) umgewandelt: Schienen und Räder werden ein wenig wärmer. Diese Energie lässt sich kaum wieder nutzen, man spricht von Energieentwertung. Die Gesamtenergie bleibt erhalten, $E_\text{pot} + E_\text{kin}$ nimmt aber ab:

Looping (Radius $r$): Im höchsten Punkt muss die Gewichtskraft allein höchstens so groß sein wie die nötige Zentripetalkraft: $m g \leq m \frac{v^2}{r}$, also $v \geq \sqrt{g \cdot r}$. Ohne Reibung braucht man dafür eine Starthöhe von mindestens $2{,}5 \cdot r$ über dem Tiefpunkt. Startet der Wagen niedriger (aber höher als $r$), würde er ohne Sicherungsbügel in der Höhe $h = \frac{2 h_0 + r}{3}$ aus der Bahn fallen.

Ausprobieren

1. Drücke Losfahren und beobachte die Energie-Säulen. Was bleibt immer gleich? Ziehe den Wagen vor der Fahrt an eine andere Stelle der Startrampe.
2. Tippe auf die Schiene, um bis zu vier Messpunkte zu setzen. Die Simulation zeigt dort Höhe und Geschwindigkeit, die Tabelle die Energien. Verdopple dann die Masse: Was ändert sich, was nicht? Doppelte Masse
3. Schalte Reibung ein. In welche Energieform wird die Energie umgewandelt? Achte auf die Säule $W_\text{R}$. Die zweite, gepunktete Linie zeigt, wie hoch der Wagen noch kommen kann. Mit Reibung
4. Öffne die Energie-Diagramme. Oben ist die Lageenergie über dem Weg ein „Energieberg“ in Form der Bahn; der Abstand bis zur waagerechten Linie ist die Bewegungsenergie. Unten stapeln sich die Energien über der Zeit – die Oberkante bleibt immer gleich. Tippe ins untere Diagramm, um die Zeit zu verschieben. Energie-Diagramme
5. Baue eine eigene Bahn: Ziehe die Punkte 1 bis 4 und den Wagen. Wann schafft er den Hügel bei Punkt 2? Eigene Bahn
6. Sieh dir die Kräfte im Looping an: aus 20 m und aus 13 m Höhe. Looping aus 20 m · aus 13 m
7. Entdeckungsaufgabe: Finde die kleinste Starthöhe, mit der der Wagen den Looping schafft. Jede Fahrt erscheint als Punkt in der Messreihe. Aufgabe starten
8. Fahre die Mega-Bahn mit zwei Loopings. Die Kamera fährt mit, die Übersicht oben rechts zeigt die ganze Strecke. Die Andruck-Anzeige unten links zeigt, wie stark der Sitz dich drückt – als Vielfaches deiner Gewichtskraft (in $g$): im Tal kräftig, auf dem ersten Hügel weniger als null (Airtime). Warum sind die Loopings oben enger als unten? Mega-Bahn

Aufgaben

Aufgabe 1: Geschwindigkeit im Tal

Der Wagen startet im Tal aus $15\,\text{m}$ Höhe. Wie schnell ist er am tiefsten Punkt (ohne Reibung)? Aufgabe laden

Aufgabe 2: Energien unterwegs

Ein Wagen mit $m = 400\,\text{kg}$ startet aus $20\,\text{m}$ Höhe. Berechne seine Lageenergie am Start sowie Geschwindigkeit, Lage- und Bewegungsenergie in $10\,\text{m}$ Höhe. Prüfe mit einem Messpunkt. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Mindesthöhe für den Looping

Begründe, dass der Wagen ohne Reibung mindestens aus $2{,}5 \cdot r$ starten muss, um den Looping ($r = 6\,\text{m}$) sicher zu durchfahren. Wie schnell ist er dann oben?

Aufgabe 4: Kräfte oben im Looping

Der Wagen ($400\,\text{kg}$) startet aus $20\,\text{m}$. Berechne oben die Geschwindigkeit, die Gewichtskraft, die nötige Zentripetalkraft und die Kraft der Schiene. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Reibung

Starte im Tal aus $15\,\text{m}$ mit $\mu = 0{,}02$. Wie hoch kommt der Wagen auf der anderen Seite? Wie viel Energie steckt dann in der Reibungswärme? Ausprobieren

Aufgabe 6: Zu niedrig gestartet

Auf der eigenen Bahn liegt der Hügel bei Punkt 2 in $14\,\text{m}$ Höhe. Der Wagen startet ohne Reibung aus $12\,\text{m}$. Wo kehrt er um? Wie schnell ist er im Tal bei Punkt 1 ($2\,\text{m}$)? Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Energieerhaltung in der Mittelstufe (etwa Klasse 9/10); die Energie-Diagramme bereiten auf Potentialdiagramme vor, der Looping eignet sich als Vertiefung zur Kreisbewegung.
• Entdeckungsaufgabe in Gruppen: Jede Gruppe sucht die Mindesthöhe – erst ohne, dann mit Reibung – und begründet das Ergebnis anschließend mit $v^2 \geq g r$.
• Modell: Massenpunkt auf der Schiene, Reibung proportional zur Normalkraft (auch im Looping), $g = 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} = 9{,}81\,\tfrac{\text{N}}{\text{kg}}$. Wer im Unterricht mit $g \approx 10\,\tfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ rechnet, erhält etwa $2\,\%$ größere Energien und Kräfte und etwa $1\,\%$ größere Geschwindigkeiten. Energien zeigt die Simulation in Kilojoule ($1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$). Der gezeichnete Wagen ist größer als maßstäblich. Sicherungsbügel halten ihn auf der Schiene; wo er ohne sie abheben würde, zeigt die Simulation das an (auch „Airtime“ auf Hügeln). Auf der Mega-Bahn ist ein Zug aus drei Wagen gezeichnet; gerechnet wird weiter mit einem Massenpunkt in der Mitte des Zugs. Ihre Loopings sind wie echte Bahnen tropfenförmig (unten weit, oben eng): Unten ist der Zug schnell, ein großer Radius hält den Andruck $1 + \frac{v^2}{g r}$ klein; oben ist er langsam, dort genügt ein kleiner Radius für $v^2 \geq g r$. Der Andruck ist die Normalkraft geteilt durch die Gewichtskraft, $\frac{F_\text{N}}{m g}$.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Schwere Wagen sind schneller.“ – Die Geschwindigkeit hängt nicht von der Masse ab.
  • „Mit Reibung geht Energie verloren.“ – Sie wird in innere Energie umgewandelt, nicht vernichtet.
  • „Für den Looping reicht eine Starthöhe von $2r$.“ – Oben braucht der Wagen noch Geschwindigkeit, deshalb $2{,}5\,r$.