Lade- und Entladekurve des Kondensators

Worum geht es?

Ein Kondensator speichert elektrische Ladung: Auf der einen Platte sammeln sich Elektronen, auf der anderen fehlen sie. Die Ladung $Q$ ist proportional zur Spannung, $Q = C \cdot U$ , mit der Kapazität $C$ (Einheit Farad, $1\,\text{F} = 1\,\frac{\text{C}}{\text{V}}$ ). Ein Farad ist sehr viel; übliche Kondensatoren haben Kapazitäten in µF ( $10^{-6}\,\text{F}$ ), nF ( $10^{-9}\,\text{F}$ ) oder pF ( $10^{-12}\,\text{F}$ ). Wie groß $C$ ist, hängt vom Bau ab, beim Plattenkondensator zum Beispiel $C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \frac{A}{d}$ .

Laden (Schalterstellung 1): Der leere Kondensator wird über einen Widerstand $R$ an die Spannung $U_0$ gelegt. Zu Beginn liegt die ganze Spannung am Widerstand, es fließt der größte Strom

I_0 = \frac{U_0}{R} .

Je voller der Kondensator wird, desto größer seine Gegenspannung $U_C$ und desto kleiner der Strom. Die Spannung nähert sich $U_0$ immer langsamer:

U_C(t) = U_0 \cdot \left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad I(t) = I_0 \cdot e^{-t/\tau} .

Entladen (Schalterstellung 2): Der Kondensator wird über den Widerstand kurzgeschlossen. Spannung und Strom fallen exponentiell ab, der Strom fließt jetzt in die Gegenrichtung (im Diagramm negativ):

U_C(t) = U_0 \cdot e^{-t/\tau}, \qquad I(t) = -I_0 \cdot e^{-t/\tau} .

Wie schnell das geht, bestimmt die Zeitkonstante

\tau = R \cdot C .

Was sie bedeutet:

Nach $t = \tau$ : Beim Laden hat die Spannung 63 % ihres Endwerts erreicht. Beim Entladen ist sie auf 37 % gefallen ( $e^{-1} \approx 0{,}37$ ).
Tangente bei $t = 0$ : Sie trifft den Endwert genau bei $t = \tau$ . So lässt sich $\tau$ aus einer Messkurve ablesen.
Halbwertszeit $t_{1/2} = \tau \cdot \ln 2 \approx 0{,}69\,\tau$ : Nach dieser Zeit ist der Abstand zum Endwert halbiert, nach $2\,t_{1/2}$ geviertelt.
Nach etwa $5\,\tau$ : Der Vorgang gilt als abgeschlossen (über 99 %).

Der volle Kondensator speichert die Energie

W = \tfrac12 \cdot C \cdot U^2 .

Zur Darstellung:

Die Punkte im Stromkreis sind Elektronen. Sie laufen entgegen der technischen Stromrichtung (roter Pfeil), ihr Tempo ist proportional zur Stromstärke.
Die Zahl der Plus- und Minuszeichen auf den Platten wächst mit $U_C$ .
Der Widerstand leuchtet, solange Strom fließt, denn dort wird Energie in Wärme umgewandelt.
Ist $\tau$ sehr klein oder sehr groß, läuft das Bild im Zeitraffer bzw. in Zeitlupe (Anzeige oben rechts). Die Diagramme zeigen immer die echte Zeit.

Ausprobieren

Beobachte Elektronen, Platten und Diagramme beim Laden. Wann fließt der größte Strom? Laden
Tippe den Schalter im Bild an, solange der Kondensator noch lädt. Von welcher Spannung aus beginnt das Entladen? Laden
Lies an der Tangente die Zeitkonstante ab und vergleiche mit $R \cdot C$ . Mit Tangente
Verdopple den Widerstand bzw. die Kapazität. Wie ändern sich $\tau$ und $I_0$ ? R = 20 kΩ · C = 200 µF
Entladen mit Halbwertszeit: Nach wie vielen Halbwertszeiten ist nur noch ein Achtel der Spannung übrig? Halbwertszeit

Aufgaben

Aufgabe 1: Zeitkonstante und Anfangsstrom

Ein Kondensator mit $C = 100\,\mu\text{F}$ wird über $R = 10\,\text{k}\Omega$ an $U_0 = 10\,\text{V}$ geladen. Berechne $\tau$ , $I_0$ und die Spannung nach $t = \tau$ . Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$\tau = R \cdot C = 10^4\,\Omega \cdot 10^{-4}\,\text{F} = 1{,}0\,\text{s}$ , $I_0 = \frac{10\,\text{V}}{10\,\text{k}\Omega} = 1{,}0\,\text{mA}$ , $U_C(\tau) = 10\,\text{V} \cdot (1 - e^{-1}) \approx 6{,}32\,\text{V}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Halbwertszeit

Wie lange dauert es, bis derselbe Kondensator beim Entladen nur noch $5\,\text{V}$ hat? Und bis $2{,}5\,\text{V}$ ? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$t_{1/2} = \tau \cdot \ln 2 \approx 0{,}693\,\text{s}$ ; bis $2{,}5\,\text{V}$ dauert es zwei Halbwertszeiten, also etwa $1{,}39\,\text{s}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Energie

Wie viel Energie speichert der Kondensator ( $100\,\mu\text{F}$ ) bei $10\,\text{V}$ ? Wie viel ist es bei halber Spannung? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$W = \tfrac12 \cdot 10^{-4}\,\text{F} \cdot (10\,\text{V})^2 = 5\,\text{mJ}$ . Bei halber Spannung nur ein Viertel: $1{,}25\,\text{mJ}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Wann ist der Kondensator voll?

Derselbe Kondensator ( $100\,\mu\text{F}$ , $10\,\text{k}\Omega$ , $10\,\text{V}$ ) wird geladen. Welche Spannung hat er nach $2\,\tau$ und nach $5\,\tau$ ? Wie viel Ladung trägt er, wenn er voll ist? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

Nach $2\,\tau$ : $U_C = 10\,\text{V} \cdot (1 - e^{-2}) \approx 8{,}65\,\text{V}$ , also etwa 86 %. Nach $5\,\tau$ : $U_C = 10\,\text{V} \cdot (1 - e^{-5}) \approx 9{,}93\,\text{V}$ , also über 99 %. Voll geladen: $Q = C \cdot U_0 = 10^{-4}\,\text{F} \cdot 10\,\text{V} = 10^{-3}\,\text{C} = 1\,\text{mC}$ . Am Ende des Vorgangs ( $t = 5\,\text{s}$ ) zeigt die Simulation $U_C = 9{,}93\,\text{V}$ . In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Den Realversuch mit großem Elko (z. B. 1000 µF, 10 kΩ, Messwerterfassung) aufnehmen und Kurven sowie $\tau$ mit der Simulation vergleichen.
Die Tangentenmethode und die Halbwertszeitmethode zur Bestimmung von $\tau$ gegenüberstellen.
Typische Stolpersteine:
- „Durch den Kondensator fließt Strom.“ – Die Ladungen fließen nur in den Zuleitungen; zwischen den Platten ist eine Isolierschicht.
- „Nach $2\,\tau$ ist der Kondensator voll.“ – Erst nach etwa $5\,\tau$ ist er praktisch voll; theoretisch nie ganz.
- „Beim Entladen fließt der Strom in dieselbe Richtung.“ – Er kehrt sich um, deshalb ist $I$ im Diagramm negativ.