Elastische und unelastische Stöße

Worum geht es?

Zwei Gleiter mit den Massen $m_1$ und $m_2$ gleiten fast reibungsfrei auf einer Luftkissenbahn und stoßen zusammen. Der Impuls eines Körpers ist

p = m \cdot v \qquad [p] = 1\,\text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}}

Er hat eine Richtung: Auf der Bahn zählt „nach rechts“ positiv, „nach links“ negativ. Für das abgeschlossene System aus beiden Gleitern gilt bei jedem Stoß der Impulserhaltungssatz:

m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'

Mit der Bewegungsenergie $E = \tfrac{1}{2} m v^2$ sieht es anders aus:

Elastischer Stoß (Federbügel): Auch die Bewegungsenergie bleibt erhalten. Daraus folgt

v_1' = \frac{(m_1 - m_2)\,v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2} \qquad v_2' = \frac{(m_2 - m_1)\,v_2 + 2 m_1 v_1}{m_1 + m_2}

Vollkommen unelastischer Stoß (Klettband): Die Gleiter haften aneinander und fahren gemeinsam weiter mit

v' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}

Ein Teil der Bewegungsenergie wird dabei in innere Energie (Verformung, Erwärmung) umgewandelt.

Teilelastischer Stoß (Gummipuffer): Die Stoßzahl $k$ gibt an, wie schnell sich die Gleiter nachher im Vergleich zu vorher voneinander entfernen: $v_2' - v_1' = k \cdot (v_1 - v_2)$ mit $0 \le k \le 1$ .

Der gemeinsame Schwerpunkt S bewegt sich mit $v_S = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$ – vor, während und nach dem Stoß gleich, denn $v_S$ ist der Gesamtimpuls geteilt durch die Gesamtmasse. Damit lassen sich alle drei Stoßarten in einer Formel zusammenfassen:

v_1' = v_S - k\,(v_1 - v_S) \qquad v_2' = v_S - k\,(v_2 - v_S)

Ausprobieren

Drücke Stoß starten und beobachte die Pfeile. Vergleiche in der Bilanz die Summenpfeile (lila) vor und nach dem Stoß.
Ziehe an den Pfeilspitzen, um $v_1$ und $v_2$ zu ändern – auch nach links. Was passiert, wenn Gleiter 1 langsamer ist als Gleiter 2?
Gleiche Massen, elastisch: Was geschieht mit den Geschwindigkeiten? Beispiel laden
Schalte auf Klettband. Wie viel Prozent der Bewegungsenergie werden umgewandelt? Beispiel laden
Ein leichter Gleiter prallt auf einen sehr schweren. Vergleiche Impuls und Energie des schweren Gleiters nach dem Stoß. Beispiel laden
Wähle das t-x-Diagramm. Welche Form hat die Linie des Schwerpunkts? Beispiel laden

Aufgaben

Aufgabe 1: Gleiter mit Klettband

Gleiter 1 ( $m_1 = 0{,}2\,\text{kg}$ , $v_1 = 0{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ) stößt auf den ruhenden Gleiter 2 ( $m_2 = 0{,}2\,\text{kg}$ ). Beide haften aneinander. Berechne die gemeinsame Geschwindigkeit und den Anteil der Bewegungsenergie, der umgewandelt wird. Aufgabe laden

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$v' = \frac{0{,}2 \cdot 0{,}5}{0{,}4}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 0{,}25\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ . Vorher: $E = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}5^2\,\text{J} = 25\,\text{mJ}$ , nachher: $E' = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}25^2\,\text{J} = 12{,}5\,\text{mJ}$ . Die Hälfte der Bewegungsenergie (50 %) wird zu innerer Energie. In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Leicht trifft schwer

Elastischer Stoß mit $m_1 = 0{,}2\,\text{kg}$ , $v_1 = 0{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ und dem ruhenden Gleiter 2 mit $m_2 = 0{,}4\,\text{kg}$ . Berechne $v_1'$ und $v_2'$ und prüfe die Energieerhaltung. Aufgabe laden

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$v_1' = \frac{(0{,}2 - 0{,}4) \cdot 0{,}5}{0{,}6}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx -0{,}167\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \qquad v_2' = \frac{2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}5}{0{,}6}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 0{,}333\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

Gleiter 1 prallt zurück. Energie: $\tfrac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}167^2 + \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}333^2 \approx 2{,}8\,\text{mJ} + 22{,}2\,\text{mJ} = 25\,\text{mJ}$ wie vorher.

Aufgabe 3: Stillstand nach dem Stoß

Gleiter 1 ( $m_1 = 0{,}2\,\text{kg}$ ) fährt mit $0{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ nach rechts, Gleiter 2 ( $m_2 = 0{,}4\,\text{kg}$ ) kommt ihm entgegen. Beide haben Klettband. Wie schnell muss Gleiter 2 sein, damit beide nach dem Stoß stillstehen? Wohin geht die Energie? Prüfe deine Vorhersage, indem du $v_2$ einstellst. Aufgabe laden

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Der Gesamtimpuls muss null sein: $0{,}2 \cdot 0{,}5 + 0{,}4 \cdot v_2 = 0$ , also $v_2 = -0{,}25\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ . Die gesamte Bewegungsenergie $25\,\text{mJ} + 12{,}5\,\text{mJ} = 37{,}5\,\text{mJ}$ wird in innere Energie umgewandelt. In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Wie gegen eine Wand

Ein leichter Gleiter ( $m_1 = 0{,}05\,\text{kg}$ , $v_1 = 0{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ) stößt elastisch auf einen ruhenden, 40-mal schwereren ( $m_2 = 2\,\text{kg}$ ). Berechne die Geschwindigkeiten nach dem Stoß. Welcher Gleiter hat danach mehr Impuls, welcher mehr Energie? Aufgabe laden

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$v_1' = \frac{(0{,}05 - 2) \cdot 0{,}5}{2{,}05}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx -0{,}476\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ , $v_2' = \frac{2 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}5}{2{,}05}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 0{,}024\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ . Der schwere Gleiter übernimmt mit $p_2' \approx 0{,}049\,\text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ fast den doppelten Anfangsimpuls ( $0{,}025\,\text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ), aber nur $0{,}6\,\text{mJ}$ von $6{,}25\,\text{mJ}$ Energie. Für $m_2 \to \infty$ prallt Gleiter 1 mit $-v_1$ zurück wie von einer Wand.

Aufgabe 5: Teilelastischer Stoß

Zwei Gleiter mit je $0{,}2\,\text{kg}$ stoßen teilelastisch mit $k = 0{,}5$ ; Gleiter 1 hat $0{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ , Gleiter 2 ruht. Berechne $v_1'$ , $v_2'$ und den Energieanteil, der umgewandelt wird. Aufgabe laden

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$v_S = 0{,}25\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ , also $v_1' = 0{,}25 - 0{,}5 \cdot (0{,}5 - 0{,}25) = 0{,}125\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ und $v_2' = 0{,}25 + 0{,}5 \cdot 0{,}25 = 0{,}375\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ . Nachher: $E' = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot (0{,}125^2 + 0{,}375^2)\,\text{J} \approx 15{,}6\,\text{mJ}$ von $25\,\text{mJ}$ – es werden $37{,}5\,\%$ umgewandelt.

Aufgabe 6: Gleiche Massen, entgegengesetzt

Zwei Gleiter mit je $0{,}2\,\text{kg}$ fahren aufeinander zu: Gleiter 1 mit $0{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ nach rechts, Gleiter 2 mit $0{,}3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ nach links. Der Stoß ist elastisch. Sage $v_1'$ und $v_2'$ voraus, ohne lange zu rechnen. Aufgabe laden

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Bei gleichen Massen tauschen die Gleiter beim elastischen Stoß ihre Geschwindigkeiten: $v_1' = -0{,}3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (nach links), $v_2' = 0{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (nach rechts). Mit der Formel: $v_1' = \frac{0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}2 \cdot (-0{,}3)}{0{,}4}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = -0{,}3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ . Probe Impuls: $0{,}2 \cdot 0{,}5 + 0{,}2 \cdot (-0{,}3) = 0{,}04\,\text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ vorher und nachher.

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Impuls und Impulserhaltung in der Mechanik der Mittel- oder Oberstufe (etwa Klasse 10/11). Geeignet als Ersatz oder Vorbereitung für den Versuch an der Luftkissenbahn, zum Üben der Stoßformeln und zum Vergleich von Impuls- und Energieerhaltung.
Vorhersagen lassen: Die Bilanz „nachher“ erscheint erst im Moment des Stoßes. Mit _hide=1 (Aufgabenlinks) sind die berechneten Ergebnisse verdeckt, ebenso die Zahlen nach dem Stoß an den Pfeilen, am Schwerpunkt und in der Energiebilanz. Pfeile, Balken und Diagramm bleiben sichtbar und erlauben eine grobe Kontrolle der eigenen Rechnung.
Modell: gerader, zentraler Stoß ohne Reibung; die Stoßdauer wird vernachlässigt (Geschwindigkeiten springen). Die Startorte wählt die Simulation so, dass die Bewegung gut auf die $1{,}6\,\text{m}$ lange Bahn passt. Massen bis $2\,\text{kg}$ werden als Massestücke auf dem Gleiter dargestellt.
Darstellung: Im t-x-Diagramm zeigen die Bänder die Länge der Gleiter ( $0{,}2\,\text{m}$ ); sie berühren sich genau beim Stoß. Die Linie des Schwerpunkts ist eine Gerade.
Häufige Stolpersteine:
- „Beim unelastischen Stoß geht Impuls verloren.“ – Der Impuls bleibt bei jedem Stoß erhalten; nur Bewegungsenergie wird umgewandelt.
- „Energie geht verloren.“ – Sie wird zu innerer Energie (Verformung, Erwärmung) und ist nicht verschwunden.
- „Impuls und Bewegungsenergie sind dasselbe.“ – Der Impuls hat eine Richtung und ist proportional zu $v$ , die Energie ist richtungslos und proportional zu $v^2$ (siehe Aufgabe 4).