Transversal- und Longitudinalwellen

Worum geht es?

Eine mechanische Welle entsteht, wenn ein Erreger ein Teilchen einer Kette gekoppelter Teilchen (Oszillatoren) zum Schwingen bringt. Über die Kopplung (hier: Federn) wird die Bewegung an das nächste Teilchen weitergegeben, von dort an das übernächste usw. Jedes Teilchen beginnt etwas später zu schwingen als sein Vorgänger. Es breitet sich also ein Schwingungszustand und damit Energie aus – die Teilchen selbst wandern nicht mit, sie schwingen nur um ihre Ruhelage.

• Transversalwelle (Querwelle): Die Teilchen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Es entstehen Wellenberge und Wellentäler (z. B. Seilwelle).
• Longitudinalwelle (Längswelle): Die Teilchen schwingen in Ausbreitungsrichtung. Es entstehen Verdichtungen und Verdünnungen (z. B. Schall in Luft).

Die Wellenfront läuft mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$; vor ihr ist alles noch in Ruhe. Bis zur Stelle $x$ braucht die Welle die Zeit $\Delta t = \frac{x}{c}$. Weil jedes Teilchen die Bewegung des Erregers $y_E(t) = \hat y \cdot \sin(\omega t)$ nur verspätet wiederholt, gilt

Die Wellenlänge $\lambda$ ist der kleinste Abstand zweier Teilchen, die gleichphasig schwingen (z. B. von Wellenberg zu Wellenberg oder von Verdichtung zu Verdichtung). Während einer Periodendauer $T$ läuft die Welle genau um eine Wellenlänge weiter:

Die Frequenz $f$ legt der Erreger fest, die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ der Wellenträger (Kopplung, Masse der Teilchen). Die Wellenlänge ergibt sich daraus: $\lambda = \frac{c}{f}$.

Zwei Teilchen im Abstand $\Delta x$ haben den Phasenunterschied $\Delta\varphi = 2\pi \cdot \frac{\Delta x}{\lambda}$. Im Abstand $\lambda$ ist er $2\pi$ (gleichphasig), im Abstand $\frac{\lambda}{2}$ ist er $\pi$ (gegenphasig).

Zwei Diagramme beschreiben die Welle: Die Momentaufnahme (auch Momentbild) $y(x)$ zeigt die Auslenkung aller Teilchen zu einem Zeitpunkt (daran liest man $\lambda$ ab), der Zeitverlauf (auch Zeitbild) $y(t)$ zeigt die Bewegung eines Teilchens (daran liest man $T$ ab).

Ausprobieren

1. Drücke auf „Neu starten“ und beobachte die Wellenfront. Was machen die Teilchen vor der Front?
2. Verfolge das rote, markierte Teilchen. Bewegt es sich mit der Welle nach rechts? Achte auf den roten Schwingungsbereich. Wellenberg verfolgen
3. Tippe ein anderes Teilchen an (in der Kette oder in der Momentaufnahme). Wann beginnt es zu schwingen? Vergleiche im $y(t)$-Diagramm mit dem Erreger.
4. Lies an der grünen Klammer die Wellenlänge ab und prüfe $c = \lambda \cdot f$. Verändere $f$ bei gleichem $c$: Was passiert mit $\lambda$? Hohe Frequenz
5. Vergleiche Transversal- und Longitudinalwelle. Wo liegen die Verdichtungen im Vergleich zu den Wellenbergen? Beide im Vergleich
6. Schalte die Zeiger ein. Sie stehen in gleichen Abständen über der Kette (Abstand $\Delta x$ am Maßband ablesen). Um welchen Winkel ist ein Zeiger gegenüber seinem linken Nachbarn gedreht? Prüfe mit $\Delta\varphi = 2\pi \cdot \frac{\Delta x}{\lambda}$. Zeiger
7. Löse einen Einzelpuls aus und halte die Wiedergabe an, wenn er mitten in der Kette ist. Wie lang ist der Puls? Einzelpuls

Aufgaben

Aufgabe 1: Wellenlänge berechnen

Ein Erreger schwingt mit $f = 0{,}8\,\text{Hz}$, die Welle läuft mit $c = 1{,}2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Berechne Periodendauer und Wellenlänge und miss $\lambda$ in der Simulation nach. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Ausbreitungsgeschwindigkeit aus einer Messung

In einer Momentaufnahme sind zwei benachbarte Wellenberge $0{,}8\,\text{m}$ voneinander entfernt. Ein Teilchen führt 10 Schwingungen in $8\,\text{s}$ aus. Wie schnell läuft die Welle?

Aufgabe 3: Wann geht es los?

Bei $f = 0{,}8\,\text{Hz}$ und $c = 1{,}2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$: Wann beginnt Teilchen Nr. 30 ($x = 3\,\text{m}$) zu schwingen? Wie groß ist sein Phasenunterschied zum Erreger? Aufgabe laden

Aufgabe 4: Frequenz verdoppeln

Die Frequenz des Erregers wird verdoppelt, der Wellenträger bleibt gleich. Wie ändern sich $c$, $\lambda$ und $T$?

Aufgabe 5: Verdichtung und Wellenberg

In der Longitudinalwelle liegen die Verdichtungen nicht dort, wo die Teilchen am weitesten nach rechts ausgelenkt sind. Begründe mit der Momentaufnahme, wo sie liegen. Beispiel laden

Aufgabe 6: Schall

Schall breitet sich in Luft mit etwa $340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ als Longitudinalwelle aus (bei $20\,^\circ\text{C}$ genauer $343\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$). Welche Wellenlänge hat der Kammerton $a'$ ($440\,\text{Hz}$)? Und ein tiefer Ton mit $50\,\text{Hz}$?

Aufgabe 7: Gleicher Ton, anderer Wellenträger

Der Kammerton $a'$ ($440\,\text{Hz}$) wird unter Wasser gehört. Dort ist der Schall etwa $1480\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ schnell. Welche Größen ändern sich gegenüber Luft, welche nicht? Berechne die Wellenlänge im Wasser.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Einstieg in mechanische Wellen (Klasse 10 bzw. Oberstufe, je nach Lehrplanstand): Entstehung durch Kopplung, Unterscheidung transversal/longitudinal, Grundgleichung $c = \lambda \cdot f$, Momentaufnahme und Zeitverlauf. Gut für Erarbeitung an der Tafel (Wiedergabe anhalten, Zeitmarke setzen) und für Schülerarbeit mit den Aufträgen.
• Modell: Die Bewegung wird analytisch berechnet: Jedes Teilchen wiederholt die Bewegung des Erregers mit der Verspätung $x/c$ (ideale, verlustfreie Kette ohne Reflexion am Ende, keine Dispersion). Die Kette ist $4\,\text{m}$ lang, die Teilchen haben $10\,\text{cm}$ Abstand. Quer zur Kette wird die Transversalwelle zur besseren Sichtbarkeit überhöht gezeichnet (der Faktor steht im Bild); die Longitudinalwelle ist maßstäblich.
• Darstellung: Die Färbung des Bandes zeigt die Teilchendichte. Ist $2\pi\hat y/\lambda \ge 1$, würden sich benachbarte Teilchen der Longitudinalwelle überholen – die Simulation weist darauf hin.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Die Teilchen wandern mit der Welle mit.“ – Sie schwingen nur um ihre Ruhelage; transportiert wird Energie bzw. der Schwingungszustand (roter Schwingungsbereich, „Wellenberg verfolgen“).
  • „Eine höhere Frequenz macht die Welle schneller.“ – $c$ hängt vom Träger ab; bei höherem $f$ wird $\lambda$ kleiner.
  • „Die Momentaufnahme $y(x)$ und das Diagramm $y(t)$ sind dasselbe.“ – Gleiche Form, aber andere Achse: Abstand der Hochpunkte ist $\lambda$ bzw. $T$; außerdem sind sie gespiegelt (die Welle läuft nach rechts, das zuerst angeregte Teilchen ist links).
  • „Bei der Longitudinalwelle sind die Verdichtungen dort, wo die Teilchen am weitesten ausgelenkt sind.“ – Siehe Aufgabe 5.
• Grenzen des Modells: Die Teilchen haben $10\,\text{cm}$ Abstand. Wird $\lambda$ kürzer als etwa drei Teilchenabstände (z. B. $f = 2\,\text{Hz}$ und $c = 0{,}2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$), kann die Kette die Welle nicht mehr erkennbar zeigen; die Simulation weist darauf hin. Die Kurve der Momentaufnahme bleibt richtig.