Interferenz zweier Kreiswellen

Worum geht es?

In einer Wellenwanne tauchen zwei Erreger $E_1$ und $E_2$ im Abstand $d$ im gleichen Takt ins Wasser. Jeder erzeugt Kreiswellen mit derselben Wellenlänge $\lambda = \frac{c}{f}$ . Wo sich die Wellen treffen, addieren sich ihre Auslenkungen (Superposition): $y = y_1 + y_2$ .

Ob sie sich in einem Punkt $P$ verstärken oder auslöschen, hängt nur von den Wegstrecken $s_1$ und $s_2$ ab, die die Wellen bis $P$ zurücklegen, genauer vom Gangunterschied

\Delta s = s_1 - s_2 .

Bei gleichphasigen Erregern gilt:

Maximum (konstruktive Interferenz): $\Delta s = k \cdot \lambda$ – Berg trifft auf Berg, Tal auf Tal, die Amplitude ist $2\hat y$ .
Minimum (destruktive Interferenz): $\Delta s = \left(k + \tfrac{1}{2}\right) \cdot \lambda$ – Berg trifft auf Tal, das Wasser bleibt in Ruhe.

Dabei ist $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ die Ordnung. Allgemein schwingt $P$ mit der Amplitude

A = 2\hat y \cdot \left|\cos\frac{\delta}{2}\right| \quad \text{mit} \quad \delta = 2\pi \cdot \frac{\Delta s}{\lambda} + \Delta\varphi ,

wobei $\Delta\varphi$ der Phasenunterschied der Erreger ist. Im Zeigerdiagramm sieht man das direkt: Die beiden Zeiger der Länge $\hat y$ werden aneinandergehängt; ihre Summe ist lang, wenn sie in dieselbe Richtung zeigen, und null, wenn sie entgegengesetzt sind.

Alle Punkte mit demselben Gangunterschied liegen auf einer Hyperbel mit den Brennpunkten $E_1$ und $E_2$ . Deshalb sieht man im Wasser ruhige Knotenlinien und stark bewegte Bauchlinien, die wie ein Fächer auseinanderlaufen. Weil nach der Dreiecksungleichung $|\Delta s| \le d$ ist, gibt es nur endlich viele: Bei gleichphasigen Erregern ist $|k| \le \frac{d}{\lambda}$ . Für $d = 3\lambda$ sind das die $7$ Bauchlinien $k = -3, \dots, 3$ ; die äußersten liegen auf der Verbindungsachse außerhalb der Erreger.

Fernfeld: Weit weg von den Erregern nähern sich die Hyperbeln Geraden durch die Mitte. Für ihre Richtung gilt

\sin \alpha_k = \frac{\Delta s_k}{d} = k \cdot \frac{\lambda}{d} .

Genau diese Formel begegnet dir beim Doppelspalt mit Licht wieder.

Zur Darstellung: Im Momentbild sind Wellenberge hell und Täler dunkel. Das Amplitudenbild zeigt, wie stark das Wasser an jeder Stelle im Mittel schwingt: dunkel = Knoten, hell = Bauch. Die Wellen schwingen in Wirklichkeit mit etwa $10\,\text{Hz}$ ; im Bild laufen sie stark verlangsamt (oben rechts steht, wie stark). Die Dämpfung der Wellen wird vernachlässigt.

Ausprobieren

Drücke „Wellen neu starten“. Wo entsteht das Muster zuerst? Ab wann ändert es sich nicht mehr?
Ziehe den Korken $P$ (den Messpunkt) auf eine ruhige Linie und lies $\Delta s$ ab. Wiederhole das auf einer anderen ruhigen Linie. Was fällt dir auf?
Schalte auf das Amplitudenbild um und blende beide Linienarten ein. Beispiel laden
Ziehe $E_2$ langsam nach außen. Wie viele Bauchlinien gibt es bei $d = 2\lambda$ , $3\lambda$ , $4\lambda$ ? Was passiert, wenn eine neue Linie „geboren“ wird?
Mach $d$ kleiner als $\frac{\lambda}{2}$ . Warum verschwinden alle Knotenlinien? d < λ/2
Stelle $\Delta\varphi = 180°$ ein. Was passiert auf der Mittelsenkrechten? Beobachte dazu das Zeigerdiagramm. Gegenphasig
Blende das Fernfeld ein und vergleiche die gestrichelten Richtungen mit den Hyperbeln weit oben. Fernfeld

Aufgaben

Aufgabe 1: Maximum oder Minimum?

Die Erreger sind $6\,\text{cm}$ voneinander entfernt und schwingen gleichphasig mit $\lambda = 2\,\text{cm}$ . Der Punkt $P$ liegt $8\,\text{cm}$ senkrecht über $E_2$ . Bestimme $s_1$ , $s_2$ und $\Delta s$ . Wie schwingt das Wasser in $P$ ? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$s_2 = 8\,\text{cm}$ , $s_1 = \sqrt{(6\,\text{cm})^2 + (8\,\text{cm})^2} = 10\,\text{cm}$ , also $\Delta s = 2\,\text{cm} = 1 \cdot \lambda$ . $P$ liegt auf der Bauchlinie erster Ordnung und schwingt mit der Amplitude $2\hat y$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Teilweise Verstärkung

Wie Aufgabe 1, aber mit $\lambda = 1{,}6\,\text{cm}$ . Berechne die Amplitude in $P$ . Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$\frac{\Delta s}{\lambda} = \frac{2\,\text{cm}}{1{,}6\,\text{cm}} = 1{,}25$ , also $\delta = 2{,}5\pi$ und $A = 2\hat y \cdot |\cos(1{,}25\pi)| \approx 1{,}41\,\hat y$ . Die Zeiger stehen senkrecht aufeinander. In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Linien zählen

Wie viele Bauch- und Knotenlinien gibt es bei $d = 7\,\text{cm}$ und $\lambda = 2\,\text{cm}$ (gleichphasig)? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

Bauchlinien: $|k| \le \frac{7}{2} = 3{,}5$ , also $k = -3, \dots, 3$ : $7$ Linien. Knotenlinien: $|\Delta s| = 1, 3, 5, 7\,\text{cm} \le d$ , also $8$ Linien – die beiden mit $|\Delta s| = 7\,\text{cm} = d$ liegen auf der Verbindungsachse außerhalb der Erreger. In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Gegenphasige Erreger

Was ändert sich in Aufgabe 1, wenn $E_2$ gegenphasig schwingt ( $\Delta\varphi = 180°$ )? Welche Linie liegt jetzt auf der Mittelsenkrechten?

Lösung anzeigen

Der zusätzliche Phasenunterschied $\pi$ vertauscht Maxima und Minima: In $P$ ist $\delta = 2\pi + \pi$ , also $A = 0$ . Auf der Mittelsenkrechten ( $\Delta s = 0$ ) liegt jetzt eine Knotenlinie. Bauchlinien gibt es für $\Delta s = \pm 1, \pm 3, \pm 5\,\text{cm}$ , also $6$ Stück. In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Fernfeld

Bei $d = 4\,\text{cm}$ und $\lambda = 1{,}2\,\text{cm}$ : Unter welchen Winkeln zur Mittelsenkrechten liegen weit weg die Bauchlinien? Wie viele gibt es insgesamt? Aufgabe laden

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$\sin\alpha_k = k \cdot \frac{1{,}2}{4} = 0{,}3 \cdot k$ : $\alpha_1 \approx 17{,}5°$ , $\alpha_2 \approx 36{,}9°$ , $\alpha_3 \approx 64{,}2°$ . Für $k = 4$ wäre $\sin\alpha > 1$ . Insgesamt $7$ Bauchlinien ( $k = -3, \dots, 3$ ). In der Simulation zeigen

Aufgabe 6: Wellenlänge messen

In einer Wellenwanne mit $d = 5\,\text{cm}$ misst man weit weg das erste Maximum unter $\alpha_1 = 23{,}6°$ . Bestimme $\lambda$ und mit $c = 20\,\frac{\text{cm}}{\text{s}}$ die Frequenz der Erreger.

Lösung anzeigen

$\lambda = d \cdot \sin\alpha_1 = 5\,\text{cm} \cdot 0{,}400 \approx 2{,}0\,\text{cm}$ , $f = \frac{c}{\lambda} = 10\,\text{Hz}$ . So bestimmt man später auch die Wellenlänge von Licht am Doppelspalt. Prüfen

Aufgabe 7: Phasenverschiebung verschiebt das Muster

Wie in Aufgabe 1 ist $d = 6\,\text{cm}$ und $\lambda = 2\,\text{cm}$ . Jetzt eilt $E_2$ aber dem Erreger $E_1$ um $\Delta\varphi = 90°$ voraus. Bei welchem Gangunterschied liegt die Bauchlinie, die vorher auf der Mittelsenkrechten lag? Liegt sie jetzt näher an $E_1$ oder an $E_2$ ? Wie viele Bauchlinien gibt es? Aufgabe laden

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Maximum heißt $\delta = 2\pi \cdot \frac{\Delta s}{\lambda} + \frac{\pi}{2} = k \cdot 2\pi$ , also $\Delta s = \left(k - \tfrac{1}{4}\right) \cdot \lambda$ . Für $k = 0$ ist $\Delta s = -0{,}5\,\text{cm}$ : Dort ist $s_1$ um $0{,}5\,\text{cm}$ kürzer als $s_2$ . Die Linie ist also zu $E_1$ hin gerückt, zu dem Erreger, der nachhinkt. Seine Welle hat einen kürzeren Weg und holt so die Viertelperiode auf. Bauchlinien gibt es für $\Delta s = -4{,}5;\ -2{,}5;\ -0{,}5;\ 1{,}5;\ 3{,}5;\ 5{,}5\,\text{cm}$ , also $6$ Stück. Das Muster ist nicht mehr symmetrisch. In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: In der Oberstufe beim Thema Interferenz mechanischer Wellen, als Vorbereitung auf den Doppelspalt und das Gitter. Gut als Ergänzung zum Realexperiment in der Wellenwanne: Was dort schnell und flüchtig ist, lässt sich hier anhalten, verlangsamen und vermessen. Die Zuordnung zu einer bestimmten Klassenstufe hängt vom Lehrplan ab.
Vorschlag für den Ablauf: zuerst das Momentbild beobachten und die ruhigen Linien finden lassen, dann mit dem Messpunkt die Bedingung $\Delta s = (k + \frac{1}{2}) \cdot \lambda$ selbst entdecken, erst danach das Amplitudenbild und die Hyperbeln zeigen. Mit „Werte im Bild anzeigen“ aus (val=0) lassen sich Messaufgaben stellen.
Modell: gleich große Amplituden, keine Dämpfung, ideale Punktquellen. In der echten Wellenwanne nimmt die Amplitude mit dem Abstand ab; die Knotenlinien sind dann nicht ganz in Ruhe.
Häufige Stolpersteine:
- „Auf den Knotenlinien gibt es keine Wellen.“ – Beide Wellen laufen dort hindurch, sie heben sich nur gegenseitig auf.
- „Der Gangunterschied ist der Abstand zwischen den Erregern.“ – $\Delta s$ ist der Unterschied der Wege zum Punkt $P$ ; nur auf der Verbindungsachse außerhalb der Erreger ist $|\Delta s| = d$ .
- „Mehr Abstand, gleiche Linien, nur weiter auseinander.“ – Mit größerem $d$ entstehen zusätzliche Linien, ihre Zahl hängt von $\frac{d}{\lambda}$ ab.
- „Interferenz geht mit beliebigen Wellen.“ – Ein stabiles Muster gibt es nur bei gleicher Frequenz und festem Phasenunterschied (Kohärenz).
Weiterführend: Doppelspalt und Gitter mit Licht, Interferenz von Schall (zwei Lautsprecher), Gegenschall in Kopfhörern.