Hebelgesetz – Scitura

Worum geht es?

Ein Hebel ist ein starrer Körper, der sich um eine Drehachse drehen kann. Eine Kraft, die am Hebel angreift, versucht ihn zu drehen. Wie stark, hängt nicht nur von der Kraft $F$ ab, sondern auch vom Kraftarm $a$ (auch Hebelarm genannt): dem Abstand zwischen Drehachse und Wirkungslinie der Kraft. Das Produkt heißt Drehmoment:

M = F \cdot a \qquad \text{Einheit: } 1\,\text{N} \cdot \text{m}

Hebelgesetz: Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn das linksdrehende und das rechtsdrehende Drehmoment gleich groß sind:

F_1 \cdot a_1 = F_2 \cdot a_2

Ein Massestück von $50\,\text{g}$ hat die Gewichtskraft $F = 0{,}05\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \approx 0{,}49\,\text{N}$ . Drei Massestücke im Abstand $20\,\text{cm}$ halten also zwei Massestücken im Abstand $30\,\text{cm}$ das Gleichgewicht:

1{,}47\,\text{N} \cdot 0{,}20\,\text{m} = 0{,}98\,\text{N} \cdot 0{,}30\,\text{m} \approx 0{,}29\,\text{N}\cdot\text{m}

Doppelter Kraftarm – halbe Kraft. Wirken auf einer Seite mehrere Kräfte, addiert man ihre Drehmomente.

Zweiseitiger und einseitiger Hebel: Beim zweiseitigen Hebel greifen die Kräfte auf verschiedenen Seiten der Achse an (Wippe, Balkenwaage, Schere). Beim einseitigen Hebel greifen beide auf derselben Seite an und zeigen in entgegengesetzte Richtungen (Schubkarre, Flaschenöffner, Nussknacker). Nennt man die eine Kraft Last $F_L$ mit dem Lastarm $a_L$ und die andere Kraft $F_K$ mit dem Kraftarm $a_K$ , gilt in beiden Fällen

F_K \cdot a_K = F_L \cdot a_L \qquad\Longrightarrow\qquad F_K = F_L \cdot \frac{a_L}{a_K}

Schräg ziehen: Zieht man schräg am Hebel, zählt nicht der Abstand des Angriffspunkts von der Achse, sondern der Abstand der Wirkungslinie. Man findet ihn, indem man von der Drehachse das Lot auf die Wirkungslinie fällt. Dieser wirksame Kraftarm ist kürzer – man muss stärker ziehen. (Mit Trigonometrie: $a = r \cdot \sin\beta$ , $\beta$ : Winkel zwischen Hebel und Zugrichtung.)

Goldene Regel der Mechanik: Ein langer Kraftarm spart Kraft – aber die Hand muss dafür einen längeren Weg zurücklegen. Dreht sich der Hebel, verhalten sich die Wege wie die Arme: $\frac{s_K}{s_L} = \frac{a_K}{a_L}$ . Deshalb ist

F_K \cdot s_K = F_L \cdot s_L

„Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen.“ Die Arbeit $W = F \cdot s$ wird durch den Hebel nicht kleiner. Ein Hebel ist ein Kraftwandler.

Ausprobieren

Verschiebe den rechten Stapel, bis der Hebel waagerecht zur Ruhe kommt. Vergleiche die Drehmomente oben in der Bühne. Massestücke ziehst du aus dem Kasten auf ein Loch; ein Stapel, den du antippst, verliert ein Stück.
Links hängen drei Massestücke an Stelle 4. Finde alle Möglichkeiten, sie mit Massestücken auf der rechten Seite auszugleichen. Ausgangslage
Hänge den Kraftmesser ein und ziehe am Ring, bis der Hebel waagerecht steht. Kraftmesser
Ziehe schräg. Wie ändert sich die nötige Kraft? Achte auf die Wirkungslinie und den wirksamen Kraftarm. Schräg ziehen
Einseitiger Hebel: Last und Kraftmesser liegen auf derselben Seite. Einseitiger Hebel
Schubkarre: Schiebe die Ladung näher ans Rad und die Hände weiter nach hinten. Drücke dann Anheben und vergleiche die Wege von Hand und Ladung. Schubkarre
Nussknacker und Flaschenöffner: Wo liegen Drehachse, Last und Kraft? Nussknacker · Flaschenöffner
Wippe: Wohin muss sich das leichtere Kind setzen? Wippe

Aufgaben

Aufgabe 1: Gleichgewicht herstellen

Links hängen vier Massestücke an Stelle 3, also $15\,\text{cm}$ von der Achse. An welche Stelle muss man drei Massestücke hängen? (Lochabstand $5\,\text{cm}$ ) Aufgabe laden

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$4 \cdot 0{,}49\,\text{N} \cdot 15\,\text{cm} = 3 \cdot 0{,}49\,\text{N} \cdot a_2$ , also $a_2 = \frac{4 \cdot 15\,\text{cm}}{3} = 20\,\text{cm}$ – Stelle 4 rechts. Lösung zeigen

Aufgabe 2: Was zeigt der Kraftmesser?

Links hängen sechs Massestücke an Stelle 2. Der Kraftmesser zieht an Stelle 8 rechts senkrecht nach unten. Welche Kraft zeigt er im Gleichgewicht an? Aufgabe laden

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$F_K = \frac{2{,}94\,\text{N} \cdot 0{,}10\,\text{m}}{0{,}40\,\text{m}} \approx 0{,}74\,\text{N}$ . Viermal so großer Kraftarm, ein Viertel der Kraft. Prüfen

Aufgabe 3: Einseitiger Hebel

Vier Massestücke hängen an Stelle 5 rechts, der Kraftmesser zieht an Stelle 9 rechts senkrecht nach oben. Berechne die Anzeige. Aufgabe laden

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$F_K = \frac{1{,}96\,\text{N} \cdot 25\,\text{cm}}{45\,\text{cm}} \approx 1{,}09\,\text{N}$ . Beim einseitigen Hebel zeigt die Kraft in die entgegengesetzte Richtung wie die Last. Prüfen

Aufgabe 4: Schräg ziehen

Drei Massestücke hängen an Stelle 4 links. Am Loch 6 rechts zieht der Kraftmesser einmal senkrecht und einmal unter $60^\circ$ zur Waagerechten nach unten. Warum muss man schräg stärker ziehen? Bestimme den wirksamen Kraftarm in der Simulation. Aufgabe laden

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Senkrecht reichen $0{,}98\,\text{N}$ . Schräg ist der Abstand der Wirkungslinie von der Achse nur etwa $26\,\text{cm}$ statt $30\,\text{cm}$ , also braucht man $F_K = \frac{0{,}294\,\text{N}\cdot\text{m}}{0{,}26\,\text{m}} \approx 1{,}13\,\text{N}$ . Prüfen

Aufgabe 5: Schubkarre

In einer Schubkarre liegen $80\,\text{kg}$ Sand, ihr Schwerpunkt ist $50\,\text{cm}$ von der Radachse entfernt. Die Hände greifen $140\,\text{cm}$ von der Achse. Welche Kraft ist zum Halten nötig? Was ändert sich, wenn der Sand $30\,\text{cm}$ von der Achse liegt?

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$F_L = 80\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \approx 785\,\text{N}$ und $F_K = 785\,\text{N} \cdot \frac{50}{140} \approx 280\,\text{N}$ . Mit $30\,\text{cm}$ Lastarm sind es nur noch etwa $168\,\text{N}$ – schwere Ladung gehört nach vorn zum Rad. Prüfen · nach vorn geladen

Aufgabe 6: Goldene Regel am Nussknacker

Zum Knacken einer Nuss sind $300\,\text{N}$ nötig. Die Nuss liegt $4\,\text{cm}$ vom Gelenk entfernt, die Hand drückt $16\,\text{cm}$ vom Gelenk. Wie groß ist die Handkraft? Um wie viel muss sich die Hand bewegen, wenn die Nuss um $1\,\text{mm}$ zusammengedrückt werden muss?

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$F_K = 300\,\text{N} \cdot \frac{4}{16} = 75\,\text{N}$ . Die Hand bewegt sich viermal so weit wie die Stelle an der Nuss, also $4\,\text{mm}$ . Arbeit: $75\,\text{N} \cdot 4\,\text{mm} = 300\,\text{N} \cdot 1\,\text{mm}$ . Prüfen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Hebel und Hebelgesetz, Drehmoment, Kraftwandler und Goldene Regel der Mechanik in der Mittelstufe. Die Simulation verwendet die Begriffe Drehmoment, Kraftarm und Lastarm; manche Lehrwerke sprechen nur vom Hebelarm und formulieren das Hebelgesetz ohne den Begriff Drehmoment. Mit „Drehmomente anzeigen“ (mom=0) und „Kraftarme bemaßen“ (arms=0) lassen sich die Hilfen ausblenden, z. B. für eigene Messreihen.
Bedienung: Massestücke werden aus dem Kasten auf ein Loch gezogen, Stapel lassen sich verschieben und durch Antippen verkleinern. Am Kraftmesser bestimmt der Ring Zugrichtung und Kraft. Alles ist auch über die Regler einstellbar.
Modell: Massestücke zu $50\,\text{g}$ , $g = 9{,}81\,\tfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ , Lochabstand $5\,\text{cm}$ . Wer im Unterricht mit $g \approx 10\,\tfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ rechnet, erhält $0{,}5\,\text{N}$ pro Massestück und leicht andere Werte als die Simulation. Der Hebel ist in seinem Schwerpunkt gelagert, sein Eigengewicht erzeugt kein Drehmoment. Der Zeiger mit kleinem Gegengewicht liegt unter der Achse; dadurch kehrt ein Hebel im Gleichgewicht in die Waagerechte zurück (stabiles Gleichgewicht), sonst kippt er bis zum Anschlag. Sehr kleine Unterschiede (unter $0{,}003\,\text{N}\cdot\text{m}$ , etwa durch das Runden der Kraftmesser-Anzeige) werden als Reibung in der Achse behandelt. Der zeitliche Ablauf der Bewegung ist nur qualitativ. Der Kraftmesser hat einen Messbereich von $5\,\text{N}$ und behält beim Kippen seine Zugrichtung.
Hebel im Alltag: Die Haltekraft des Kronkorkens und die Kraft zum Knacken der Nuss sind frei wählbare Beispielwerte, keine Messwerte. Eigengewichte von Schubkarre und Werkzeugen sind vernachlässigt; die Kräfte wirken senkrecht zum Hebel. Auch die Wippe stellt sich bei Gleichgewicht vereinfachend waagerecht ein.
Häufige Stolpersteine:
- „Die schwerere Seite geht immer nach unten.“ – Entscheidend ist das Drehmoment, nicht die Kraft allein.
- „Mit einem Hebel spart man Arbeit.“ – Man spart Kraft, muss dafür aber einen längeren Weg zurücklegen.
- „Beim schrägen Ziehen zählt der Abstand des Angriffspunkts.“ – Es zählt der Abstand der Wirkungslinie von der Achse.
- „Beim einseitigen Hebel gilt das Hebelgesetz nicht.“ – Es gilt genauso; nur zeigen Kraft und Last in entgegengesetzte Richtungen.